圣彼得堡悖论——期望值是无穷，你愿意付多少钱玩

原书原文（英文）

A casino offers a game of chance. A fair coin is tossed until the first time it comes up heads. If this happens on the kth toss, the player wins 2^k dollars. How much should a player be willing to pay to play this game?

这道题说的是什么

一个赌局：掷一枚均匀硬币，掷到第一次正面就停。如果第 $k$ 次才出正面，你拿 $2^k$ 块钱。

• 第 1 次就正面：拿 2 块
• 第 2 次才正面：拿 4 块
• 第 3 次：拿 8 块
• ……
• 第 $k$ 次：拿 $2^k$ 块

问：你最多愿意付多少钱玩这个游戏？

按概率论的算法，这个赌局的期望收益是：

$$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} 2^k \cdot \frac{1}{2^k} = 1 + 1 + 1 + \cdots = \infty$$

期望收益无穷大。 按「理性人按期望值决策」的标准，你应该愿意付任何价钱——把全部身家押上去都划算。

可现实里没人这么干。 这就是圣彼得堡悖论。

示意图

每一项的概率减半、收益翻倍，贡献恒为 1。求和发散——但尾部的「天文数字」几乎永不发生。

每一项的概率减半、收益翻倍，贡献恒为 1。求和发散——但尾部的「天文数字」几乎永不发生。

算一下

期望值怎么算的

把每一项拆开看：

第几次正面	概率	收益	贡献
1	1/2	2	1
2	1/4	4	1
3	1/8	8	1
4	1/16	16	1
…	…	…	…
$k$	$1/2^k$	$2^k$	1

每一项的贡献都恰好是 1。 无穷多项相加，期望值发散。

这就是教科书里期望值的标准算法——没有算错。

可现实不是这样

假设入场费 1000 块。多数人会觉得贵。为什么？

因为你几乎不可能回本：

• 玩一把，一半概率拿 2 块
• 四分之三的概率拿不到 4 块以上
• 要拿到 1024 块以上（回本），需要连续掷出 9 次以上的反面开头——概率 $1/1024$
• 要拿到 100 万，需要连续 19 次反面开头——概率约两百万分之一

尾部那些让期望值发散的天文数字，实际发生的概率小到可以忽略。

换个角度：中位数是多少

如果改成问「玩一把，收益的中位数是多少」：

• 一半概率拿 2 块
• 中位数就是 2 块

一个期望无穷、中位数 2 块的赌局——这两个数字描述的是完全不同的东西。

期望值在哪儿失效

期望值是算术平均。它对极端值极其敏感：一个 2^40 的极小概率事件，就能把平均值拉到天上去。

可人做决策，靠的不是算术平均——靠的是「大概率会怎样」，是中位数、是下界、是「我会不会亏到睡不着」。

圣彼得堡悖论真正的问题是：用算术平均描述一个重尾分布，本身就选错了工具。

现代数学视角

伯努利的解法：效用递减

1738 年，尼古拉·伯努利提出这个悖论。他的堂弟丹尼尔·伯努利在 1738 年给出第一个像样的解释：

钱的价值不是线性的。 第一块钱效用极大，第一万块少一点，第一亿块几乎没差别。

如果用对数效用 $u(x) = \ln x$，期望效用变成：

$$E[u(X)] = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\ln(2^k)}{2^k} = \ln 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}$$

而 $\sum \frac{k}{2^k} = 2$，所以：

$$E[u(X)] = 2\ln 2 = \ln 4 \approx 1.39$$

变成了有限值。 对应的合理入场费约 4 块钱——这就符合日常直觉了。

「效用递减」后来成了整个经济学的基础概念。

但解释没完

后续两百年，这个问题被反复重解：

• 有限财富：你的总财富有上限，那么任何超过它的收益对你无意义，期望值自然截断
• 风险规避：人本来就不按期望值决策，这是偏好问题不是数学问题
• 重尾分布：尾部太厚的分布，样本均值根本不收敛到期望值——大数定律要求期望存在
• 行为经济学：卡尼曼的前景理论直接说，人对损失的敏感远大于收益

一个悖论，牵出半个经济学。

期望值失效的边界

哪些场合期望值是可靠的？

• 大量重复、每次损失可控（保险、赌场长期经营、工程质量）
• 分布尾部很薄（正态分布之类）

哪些场合要警惕？

• 一次性决策（买房、择业、选举）
• 重尾分布（收入、保费、网络流量、地震损失）
• 收益/损失与本金不成比例（杠杆、彩票）

高中课本关联

知识点定位：

• 离散型随机变量的期望：$E(X) = \sum x_i p_i$
• 无穷级数：$\sum 1$ 发散
• 平均数 vs 中位数：两者描述不同侧面

直接对应的课本例题

必修二「离散型随机变量的均值」一章：

掷硬币，第 k 次正面得 2^k 元，求期望收益。

学生算完会说「无穷大」，然后就卡住了。圣彼得堡悖论就是他们下一步该问的问题。

可以告诉学生的三句话

1. 期望无穷大，不等于值得买——期望是算术平均，不是决策依据
2. 这个赌局收益的中位数只有 2 块
3. 两百年里最聪明的一批经济学家，都在解释你此刻的困惑

思考与拓展

基础题：

如果收益改成 $2^{2k}$（每次翻两番），期望值是多少？

提示：$E = \sum 2^{2k}/2^k = \sum 2^k$，比原来发散得更快。 每一项都在增长，求和必然发散。

进阶题（算中位数）：

原赌局收益的中位数是多少？如果玩 100 把，总收益的中位数大约多少？

提示：单把中位数 2。100 把的中位数仍约 200——不是期望值的百分之一。 想靠重复把期望「平均」出来，需要的次数远超你的寿命。

挑战题（有限财富版）：

假设你的全部身家只有 100 万，赌局收益超过 100 万的部分对你毫无意义。这时期望值是多少？

提示：只累加到 $2^k \le 10^6$，即 $k \le 19$（$2^{20} \approx 10^6$）。 $E = 19$ 块。身家封顶后，期望从无穷跌到 19。

开放题（生活里的圣彼得堡）：

彩票、保险、创业、买极端安全的保险，哪个是重尾？哪个是薄尾？

提示：彩票是典型重尾（头部极小、尾部极厚）；保险是薄尾；创业介于两者之间。 看清自己在哪种分布里做决策，比算期望更重要。

学生最容易栽在哪

在课堂上怎么办

这题最好提问开始：「有个赌局，期望收益无穷大，门票一万，你买不买？」

让学生举手，然后问为什么。多数人答不值——但他们刚学完期望值，正在「据说该买」和「我绝不买」之间别扭。这个别扭就是本讲的全部入口。

接着让他们算每一项的贡献，看到每一项都是 1。算完再问一次买不买——这时才有人开始说「可是那都是极端情况」。

第三步给中位数：一半概率拿 2 块。让学生同时看着两个数：期望无穷、中位数 2。问哪个数在替他做决定。

最后一步留给伯努利： 如果有对数效用，期望效用从无穷变成 1.39。学生自己的直觉，两百年前被一个数学家写成了公式。

可以用一枚真的硬币掷给学生看：掷十次，几乎每次都是两三块收场。尾部不是玄学，是永不来访。

课堂提问

1. 如果门票 4 块钱，按伯努利的对数效用算是「划算」的，你会买吗？为什么感觉还是不对？
2. 如果收益改成 $2^{2k}$（概率仍为 $1/2^k$），中位数变不变？期望变不变？哪个变、哪个不变，说明了什么？
3. 你的全部身家只有 100 万时，这赌局的期望值是多少？身家封顶把无穷「截断」成了什么？
4. 保险、彩票、买稳健理财，哪个是薄尾、哪个是重尾？为什么同一个期望公式在有的场合可靠、有的场合骗人？

一句话总结

每一项的贡献都是 1，加到无穷——期望值无穷大的赌局，中位数只有 2 块。伯努利为了解释它发明了效用递减，两百年后我们才明白：不是期望算错了，是「平均数」根本不适于描述重尾世界。