投针估 π：一根针和一个随机数

从一个问题开始

上一讲（第 003 讲）留下了一个伏笔：投针的成功概率是

$$P = \frac{2l}{\pi d},$$

其中 $l$ 是针长、$d$ 是平行线间距。这个公式干净、漂亮，还能反推出 $\pi$——取 $l = d$，则 $P = \frac{2}{\pi}$，量一下频率就能估 $\pi$。

但它有一个没被明说的前提：针必须比间距短（$l < d$）。

如果针比间距还长呢？一根两米的针往一米的网格上丢，它必然跨过某条线——概率应该趋近于 1，公式也该跟着变形。这一讲就干这件事。

示意图

核心：把问题放在 $(x, \theta)$ 平面上

设平行线沿水平方向、间距为 $d$。针的长度是 $l$。投针的结果由两个量决定：

• $x$：针中点到下方最近那条线的垂直距离，取值范围 $0 \le x \le \frac{d}{2}$；
• $\theta$：针与水平方向的夹角，由对称性只需考虑 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

针的两个端点到最近线的垂距是

$$x \pm \frac{l}{2}\sin\theta.$$

只要下端垂距为负、上端垂距为正，针就跨过了一条线。 换句话说，跨线的条件是

$$x \le \frac{l}{2}\sin\theta.$$

这就是全部的几何。剩下的都是在这块长方形上算面积。

深入理解

一、$l < d$：经典情形

当 $l < d$，沿整个 $\theta$ 区间都有 $\frac{l}{2}\sin\theta \le \frac{l}{2} < \frac{d}{2}$，所以临界线整段都落在长方形内部。跨线区域是一条正弦曲线下方的面积

$$\int_0^{\pi/2} \frac{l}{2}\sin\theta \, d\theta = \frac{l}{2}.$$

总面积是 $\frac{d}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi d}{4}$。二者相除

$$P = \frac{l/2}{\pi d/4} = \frac{2l}{\pi d},$$

正是第 003 讲的公式。

二、$l = d$：边界上发生了什么

当 $l = d$，临界线

$$x = \frac{d}{2}\sin\theta$$

恰好经过长方形的右上角 $(\frac{\pi}{2}, \frac{d}{2})$。曲线整段仍在长方形内，公式依旧成立：

$$P = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366.$$

针长等于间距时，交点概率是 $\frac{2}{\pi}$——一个不带任何参数的干净常数。这也是用投针估 $\pi$ 最省事的选法。

三、$l > d$：撞到顶之后必须分两段

当 $l > d$，$\frac{l}{2}\sin\theta$ 在 $\theta$ 较大时会超过 $\frac{d}{2}$。这时「临界线被顶到天花板以上」，那部分区域里整个 $x$ 范围都跨线（因为再短的垂距也跨过去了）。

设临界角 $\theta_0$ 满足

$$\frac{l}{2}\sin\theta_0 = \frac{d}{2}, \qquad \text{即} \quad \sin\theta_0 = \frac{d}{l}.$$

于是跨线区分成两块：

第一块（$\theta \le \theta_0$）：正弦曲线仍在天花板以下，面积为

$$\int_0^{\theta_0} \frac{l}{2}\sin\theta \, d\theta = \frac{l}{2}\left(1 - \cos\theta_0\right).$$

第二块（$\theta_0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$）：整个竖条都跨线，高度恒为 $\frac{d}{2}$，面积为

$$\frac{d}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \theta_0\right).$$

两块相加再除以总面积 $\frac{\pi d}{4}$，得

$$P = \frac{2l}{\pi d}\left(1 - \cos\theta_0\right) + \frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \theta_0\right), \qquad \sin\theta_0 = \frac{d}{l}.$$

验证它退化为经典公式：当 $l \to d^-$，有 $\theta_0 \to \frac{\pi}{2}$，$\cos\theta_0 \to 0$，第二项 $\to 0$，于是 $P \to \frac{2l}{\pi d}$ ✓

四、一条统一公式把三种情形收拢

上面分了三段讨论，其实可以写成一条。令 $\theta_0 = \arcsin\left(\min\left(1, \frac{d}{l}\right)\right)$，则

$$P = \frac{2l}{\pi d}\left(1 - \cos\theta_0\right) + \frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \theta_0\right)$$

对 $l<d$、$l=d$、$l>d$ 全部成立。

数值验证（取 $d = 2$）：

$l$	$l/d$	统一公式	分段公式	Monte Carlo（20 万次）
0.5	0.25	0.159155	0.159155	0.158894
1	0.50	0.318310	0.318310	0.318105
2	1.00	0.636620	0.636620	0.636356
4	2.00	0.837248	0.837248	0.837457
6	3.00	0.892880	0.892880	0.893022

三种方法在第四位小数上对齐。一根针长短变化，概率从 0.16 爬到 0.89，但它始终可以用同一条式子和同一个 $\theta_0$ 表达。

五、拿它估 $\pi$

取 $l = d = 1$，则 $P = \frac{2}{\pi}$，于是

$$\pi = \frac{2}{P}.$$

一次 Monte Carlo 实验：投针 50 万次，记录跨线频率

$$\hat{P} = 0.637192, \qquad \hat{\pi} = \frac{2}{\hat{P}} = 3.13877.$$

真值 $\pi = 3.14159$，误差 0.0028。

慢得让人着急，但慢得有理由。Monte Carlo 的收敛速度是 $\frac{1}{\sqrt{n}}$——样本量翻一百倍，误差才降到十分之一。想靠丢针把 $\pi$ 算到十位，得丢 $10^{20}$ 次。它的价值从来不是精度，是「不需要解析解」：只要能在计算机里模拟那个随机过程，就能估任何一个难算的量。

在高中数学体系里的位置

定积分的最早样态。 本题算的是正弦曲线下的面积，方式却是「数点子」——这正是定积分思想的雏形。课堂上可以先让学生用数格子的办法估曲线下面积，再引出 $\int$ 记号，衔接极顺。

参数讨论与分段函数。 $l<d$、$l=d$、$l>d$ 三种情形的公式不同，但极限处连续。这是「分段讨论 + 边界连续」的标准训练，也是微积分里处处可用的思维方式。

建模与假设。 模型假设「中点均匀落在线间」「倾角均匀分布在 $[0,\pi)$」「针足够细」。让学生挑出哪条假设最强、现实中最容易破，比算题更锻炼判断。

随机算法的入口。 Monte Carlo 是本世纪最重要的算法族之一。它的老祖宗就是这个投针实验——用随机估算确定，这个念头第一次被写下来是在 1777 年。

思考与拓展

1. 复算经典公式：按第一块面积的算法自己推一遍 $P = \frac{2l}{\pi d}$，并验证 $l=1,d=2$ 时 $P = \frac{1}{\pi}$。

2. 验证退化：把统一公式用到 $l=d=2$，说明为什么它给出 $\frac{2}{\pi}$。再用 $l=0.5$ 试，看是否等于经典公式。

3. 估 $\pi$：自己写一个模拟程序，投针 10 万次估 $\pi$。多跑五组，记录五次的误差，看看它们是否总在同一侧。

4. 收敛慢的问题：Monte Carlo 的误差与 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 成正比。若要把 $\pi$ 估到小数点后三位，大概需要投多少次针？（提示：粗略解 $1.2/\sqrt{n} < 0.001$。）

5. 找一处假设攻击它：若针是刚性的、有粗细，模型要在哪一步修正？若平行线画得不等距呢？

6. Monte Carlo 还能估什么：查一个用 Monte Carlo 估算的现代例子（比如高维积分、期权定价、渲染光线追踪），说明它为什么在那个场合不可替代。

一句话总结

一根针、一块布满平行线的纸，跨线频率里藏着 $\pi$；把针换长，同一套面积法推出一条统一公式——而公式背后那套「用随机估算确定」的思想，比公式本身走得更远。