摸出黑球之后，你先前的判断就作废了

摸出黑球后，P(瓮 I) 从 1/2 降到 2/5

原书原文（英文）

We have two urns, I and II. Urn I contains 2 black balls and 3 white balls. Urn II contains 1 black ball and 1 white ball. An urn is drawn at random and a ball is chosen at random from it. We can represent the sample space of this experiment as the paths through a tree. The probabilities assigned to the paths are also shown.

Let $B$ be the event "a black ball is drawn," and $I$ the event "urn I is chosen." Then the branch weight 2/5, which is shown on one branch in the figure, can now be interpreted as the conditional probability $P(B|I)$.

Suppose we wish to calculate $P(I|B)$. Using the formula, we obtain

$$P(I|B) = \frac{P(I \cap B)}{P(B)} = \frac{P(I \cap B)}{P(B \cap I) + P(B \cap II)} = \frac{1/5}{1/5 + 1/4} = \frac{4}{9}.$$

一个球，把"不知道"变成了"有依据"

两个罐子放在桌上。

• 一号罐：2 个黑球，3 个白球
• 二号罐：1 个黑球，1 个白球

蒙上眼睛，随手挑一个罐子——两个罐子被挑中的机会各一半。再从罐子里摸一个球出来，睁眼看：黑球。

问：这个黑球，来自一号罐的概率是多少？

这个问题的结构很有意思。它不是问"从一号罐摸出黑球的概率"——那个简单，$2/5$。

它问的是反过来的：已经看见结果了，倒推原因。

$P(\text{黑} \mid \text{一号})$ 好算，可我们真正想知道的是 $P(\text{一号} \mid \text{黑})$。一个是"顺着推"，一个是"倒着猜"。而现实里绝大多数判断都是后者——医生看症状倒推病因，老师看错误倒推错因，你看到乌云倒推要下雨。

本篇就是"倒着猜"的第一次正式登场。

这道题在问什么

先把两个方向的概率分清楚，别混。

方向	问题	本例的值
顺推	从一号罐摸出黑球	$P(B\mid I) = 2/5$
顺推	从二号罐摸出黑球	$P(B\mid II) = 1/2$
倒猜	摸出黑球，它来自一号罐	$P(I\mid B) =\ ?$

前两个数是"题目给的"，第三个数才是"要算的"。

而且第三个数最有意思的地方在于：它是一个会被结果改写的数。

在摸球之前，"来自一号罐"的概率是 $1/2$——你就是随手挑的。摸出一个黑球之后，这个数变了。不是罐子变了，是你知道了一件事。

算一下：四步倒猜

第一步：先算"摸出黑球"这件事本身多大概率。

黑球有两条来路，都得算，再加起来：

$$P(B) = P(I)\cdot P(B\mid I) + P(II)\cdot P(B\mid II) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{9}{20}.$$

这一步叫全概率。 两条互不相容的来路，各算一条，加起来。

注意这个数：$9/20 = 0.45$。它正好落在两个来源的出黑概率（$0.4$ 与 $0.5$）之间——这是合该有的 sanity check：混合后的出黑概率不可能跑到两个来源的外面去，否则就是算错了。

第二步：算"一号罐且黑球"。

$$P(I \cap B) = P(I)\cdot P(B\mid I) = \frac12\cdot\frac25 = \frac15.$$

第三步：上条件概率定义。

$$P(I\mid B) = \frac{P(I \cap B)}{P(B)} = \frac{1/5}{9/20} = \frac{1}{5}\times\frac{20}{9} = \frac{4}{9}.$$

答案：$4/9 \approx 0.444$。

第四步（最重要）：把这个数放回它该在的位置上看。

摸球之前，"来自一号罐"的概率是 $\dfrac12 = 0.5$。

摸出一个黑球之后，这个概率变成 $\dfrac49 \approx 0.444$。

它变小了。

为什么变小？因为二号罐更容易出黑球（$1/2 > 2/5$）。观测到一个黑球，这个信息在往"二号罐"的方向推。

现在问一句最关键的：如果摸出来的是白球呢？

照同样的算法：

$$P(W) = \frac12\cdot\frac35 + \frac12\cdot\frac12 = \frac{3}{10}+\frac14 = \frac{11}{20},$$ $$P(I\mid W) = \frac{P(I\cap W)}{P(W)} = \frac{3/10}{11/20} = \frac{6}{11} \approx 0.545.$$

变成 $6/11$，变大了。 因为一号罐更容易出白球（$3/5 > 1/2$）。

把四个数并排放：

观测到的	先验 $P(I)$	后验	方向
黑球	$1/2$	$4/9 \approx 0.444$	往二号推
白球	$1/2$	$6/11 \approx 0.545$	往一号推

同一个罐子、同一次挑选，两个不同的观测结果，把同一个判断推向相反的方向。

这就是贝叶斯推断最朴素的形态：先有一个判断，每来一条新信息，就按它修正一次。 不是推翻重来，是按比例推。

为什么是 4/9 而不是 1/2 或 2/5

算完了，学生心里通常还有三个疙瘩，逐个摆平。

疙瘩一：为什么不是 $\dfrac12$？

因为"随手挑一个罐子"只是摸球之前的状态。当你已经知道摸出的是黑球时，"随手挑的"这个信息已经被用掉了——你现在活在"摸出了黑球"的那个世界里，而这个世界里一号罐的分量是 $4/9$。

疙瘩二：为什么不是 $\dfrac25$？

$2/5$ 是"已知在一号罐里，摸出黑球的概率"。可我们并不知道在哪一号罐里——这正是问题在问的。把 $P(B\mid I)$ 和 $P(I\mid B)$ 搞混，是概率论里最著名、最高频、也最要命的错误。 它的学名叫条件概率倒置，医生、律师、记者都栽过。

疙瘩三：$4/9$ 到底什么意思？

意思是：如果你把这个实验重复很多次，在所有"摸出黑球"的那些次里，大约 $4/9$ 来自一号罐。

注意这个限定：是"在摸出黑球的那些次里"，不是"在所有次里"。因为摸出白球的那些次，一号罐的分量更重（$0.545$）。两个后验一个往上一个往下，怎么平均都应该回到 $\dfrac12$——验算一下：

$$\frac{9}{20}\cdot\frac{4}{9} + \frac{11}{20}\cdot\frac{6}{11} = \frac{4}{20} + \frac{6}{20} = \frac{10}{20} = \frac12.$$

正好等于先验。 这不是巧合，是贝叶斯方法论的一块基石：你在所有可能观测上平均，加权之后必须回到原点。 信息可以把你推来推去，但不可能凭空创造出偏好。

在课堂上怎么办

这个例子的课堂版可以完全脱离公式，用"举手投票"完成。

道具：两个不透明的袋子（或鞋盒），一个装 2 黑 3 白，一个装 1 黑 1 白。用扑克牌代替也行——一号袋放 2 张黑 3 张红，二号袋放 1 黑 1 红。

第一步：让学生看两个袋子的内容，然后问："我随手拿一个袋子摸出一个球，是黑的。它来自哪个袋子？"举手表决。

通常会分成两派，而且理由都是"二号黑球比例高"或"一号球多"。这是好的，说明他们已经在用比例思维。

第二步：揭晓 $4/9$。这时候一定有人不服——"凭什么不是 $1/2$?"

第三步（关键动作）：真的做实验。 两人一组，用一个袋子反复摸 50 次（摸完放回），只记录"摸出黑球"那些次属于哪个袋子。全班汇总。

汇总表会显示：在黑球的总次数里，来自二号袋的约占 $5/9$。 数字自己说话。

第四步（升华）：问一句——"如果我告诉你摸出的是白球，现在呢？"让学生再投一次票。多数人会倒向一号袋。这时候再讲 $6/11$，学生已经有了直觉。

收尾一定要算那个加权平均：黑球时 $4/9$、白球时 $6/11$，按两种球出现的频率加权，正好回到 $1/2$。这个"回到原点"是整个概率论最漂亮的性质之一，值得当场算一遍。

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. 把两个袋子的内容改成一样（都 2 黑 3 白），摸出黑球后 $P(I\mid B)$ 是多少？为什么？这个结果对"信息有没有用"说了什么？
2. 如果一号袋改成 1 黑 4 白，二号袋改成 3 黑 3 白，摸出黑球后 $P(I\mid B)$ 是多少？先猜，再算。提示：答案会很极端。
3. 这道题里 $P(I\mid B) + P(II\mid B) = 1$。如果罐子不是两个而是十个，这个和还等于 1 吗？为什么？（提示：想想"所有可能原因"是不是必须穷尽。）