扔了二十次，出了五个正面——这台计算机没坏

短期波动大，长期收敛到 0.5

原书原文（英文）

As we have noted, our intuition suggests that the probability of obtaining a head on a single toss of a coin is 1/2. To have the computer toss a coin, we can ask it to pick a random real number in the interval $[0, 1]$ and test to see if this number is less than 1/2. If so, we shall call the outcome heads; if not we call it tails. Another way to proceed would be to ask the computer to pick a random integer from the set $\{0, 1\}$. The program CoinTosses carries out the experiment of tossing a coin $n$ times.

Running this program, with $n = 20$, resulted in:

THTTTHTTTTHTTTTTHHTT.

Note that in 20 tosses, we obtained 5 heads and 15 tails. Let us toss a coin $n$ times, where $n$ is much larger than 20, and see if we obtain a proportion of heads closer to our intuitive guess of 1/2. The program CoinTosses keeps track of the number of heads. When we ran this program with $n = 1000$, we obtained 494 heads. When we ran it with $n = 10000$, we obtained 5039 heads.

We notice that when we tossed the coin 10,000 times, the proportion of heads was close to the ``true value'' .5 for obtaining a head when a coin is tossed. A mathematical model for this experiment is called Bernoulli Trials (see Chapter 3).

一行输出，一句"这机器坏了"

把一枚硬币交给计算机扔，最简单不过：让它在 $[0,1]$ 里随机取一个实数，小于 $1/2$ 算正面，否则算反面。

扔 20 次，屏幕吐出一行：

THTTTHTTTTHTTTTTHHTT

数一数正面——5 个。 反面 15 个。

这时候，几乎所有第一次看到这行输出的人都会说同一句话："这随机数生成器有问题吧。"

五个对十五个。正面只占了四分之一。这不是明摆着偏吗？

把它改成 1000 次，得到 494 个正面——频率 $0.494$。改成 10000 次，得到 5039 个正面——频率 $0.5039$。

越扔越像 $1/2$。 可越扔也越贵：一万次要看一万个字符，二十次一眼就数完了。

于是有了这个值得全篇追问的问题：那 20 次扔出的 5 个正面，到底是"机器坏了",还是"二十次本来就会这样"?

这道题在问什么

先把"计算机怎么扔硬币"这件事说清楚，因为它比真硬币更值得追。

计算机没有硬币，它有的是伪随机数生成器：一个确定性的算法，吐出一串看起来无规律可言的数。你在 [0,1] 里取一个数，跟 $1/2$ 比大小——这就是一次"扔硬币"。

所以本篇首先要问的是一个模仿问题：一串人造的随机数，能不能顶得上一枚真硬币？

原书的答案是能，并给了模型名字——伯努利试验（Bernoulli Trials）。独立、每次成功的概率都是 $p$、反复做 $n$ 次。这一篇是全书第一次把这个模型立起来。

但更有意思的是它附带暴露的那个坑：同样的数据，换个次数看，结论会翻。

算一下：二十次到底"应该"出几个正面

如果硬币是公平的，$p = 1/2$。扔 $n$ 次，正面数 $X$ 服从二项分布 $X \sim B(n, 1/2)$。

它的期望是

$$E[X] = n \cdot \frac{1}{2}.$$

扔 20 次，期望就是 10 个正面。我们只得到 5 个，差了一半。

差了一半，是不是就说明硬币不公平？

不是。因为期望只是个平均数，真实结果会在它附近晃动。晃多远？用标准差量：

$$\sigma = \sqrt{n p (1-p)} = \sqrt{20 \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{5} \approx 2.236.$$

20 次时，正面数的标准差约 2.24 个。 我们偏离期望 5 个，也就是

$$\frac{5}{2.236} \approx 2.24$$

个标准差。这个距离偏大，但在"完全正常"的范围之内——按正态近似，偏离超过 2 个标准差的概率约 $4.6\%$；用二项分布精确算是 $4.14\%$，约每二十四次出现一次。

换句话说：公平硬币扔 20 次，大约每二十四次就有一次出现这么难看的正面数。 你觉得"机器坏了"，其实只是撞上了一次正常波动。

再把 $n$ 放大，看同一批数据：

次数 $n$	期望正面数	标准差 $\sqrt{n}/2$	原书实际	频率	频率对 $1/2$ 的偏离
20	10	2.236	5	0.2500	$-0.2500$
1000	500	15.81	494	0.4940	$-0.0060$
10000	5000	50.00	5039	0.5039	$+0.0039$

看最后两列：偏离从 $0.25$ 掉到 $0.006$ 再到 $0.0039$，一路在缩。 换成"占几个标准差"看更准：

次数 $n$	实际偏离	该次的理论 $\sigma$	偏离 $/ \sigma$
20	0.2500	0.1118	2.24
1000	0.0060	0.0158	0.38
10000	0.0039	0.0050	0.78

第一行的 2.24 和第三行的 0.78，都在说同一件事：这是公平硬币的正常表现。 只是 20 次的"正常"恰好长得像"坏"。

为什么二十次不够——这里才是本篇的正主

把这个想透，就摸到了大数定律的门。

扔 20 次，正面频率的标准差是

$$\frac{\sigma_{\text{正面数}}}{n} = \frac{2.236}{20} = 0.1118.$$

也就是说，只用 20 次去估 $p$，你的估计值天生就在真值上下 $0.11$ 的幅度里晃。

晃幅 $0.11$ 是什么概念？真值是 $0.5$，晃幅 $0.11$ 意味着你可能得到 $0.39$，也可能得到 $0.61$——区间宽到能同时容纳"这硬币偏正面"和"这硬币偏反面"两个结论。 我们这次的 $0.25$，不过是这个宽区间里比较极端的一端。

而扔 1000 次，晃幅变成 $0.0158$；扔 10000 次，$0.0050$。

$$\text{晃幅} \propto \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

这是本篇唯一要记住的公式。 想让人信服，多做的实验次数不是线性地多，而是要按平方倒数缩。误差减半，实验次数得翻四倍。

（上一讲 de Méré 那个例子里，原书跑 1000 局得了 $48.6\%$——照着它下判断会反过来说 de Méré 错了；跑 10000 局得到 $51.98\%$，才把方向拨正。同一个模拟，样本量差了十倍，结论反了一次。

这不是模拟的毛病，这是所有用样本说话的方法的宿命。）

在课堂上怎么办

这个例子最适合让学生亲手"冤枉"一次计算机。

先让学生自己写（或用计算器）生成 20 个随机数，数正面。把全班的结果收上来，写在黑板上——几乎一定有几个组得出 5-7 个正面，甚至有更极端的。

问一句："这些组的生成器是坏的吗？"

一定有人喊是。这时候让他们把所有组的数据合起来算总频率——比如二十组合计 400 次、正面 202 个，$0.505$。

同一个班、同样的生成器，分开看每组都像坏了，合起来漂亮地贴着 $0.5$。 这个反差比推导管用。

接下来让他们自己把 $n$ 从 20 改成 200、2000、20000 各跑一遍，把频率连成一条线。亲眼看见那条线越往右越贴地。 讲台上一句话点透：你不是在等它"变准"，你是在等抖动被摊薄。

如果还有时间，可以问一个更刁的："那要跑多少次才算够？"——这个问题没有放之四海的答案，取决于你要多准。但这正是"做实验的人必须自己定的东西"。

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. 原书跑 20 次得 5 个正面。如果这硬币真的公平，至少要扔到多少次，你才愿意承认它公平？先给出一个你的判据，再想这个判据靠不靠谱。
2. 把频率的标准差 $\sqrt{np(1-p)}/n = \sqrt{p(1-p)/n}$ 对 $n$ 求导，看它随 $n$ 怎么变。为什么精度要提高十倍，实验次数要增加一百倍？
3. 一颗"不公平"的硬币 $p = 0.55$。要扔多少次，才能让"频率超过 $1/2$"的概率达到九成？（提示：用正态近似 $B(n,p)$。）