为什么四条压得过葫芦——牌桌上没人告诉你的频率法则

稀有度定大小：四条 1/4165，葫芦 1/693

原书原文（英文）

Poker players sometimes wonder why a four of a kind beats a full house. A poker hand is a random subset of 5 elements from a deck of 52 cards. A hand has four of a kind if it has four cards with the same value—for example, four sixes or four kings. It is a full house if it has three of one value and two of a second—for example, three twos and two queens. Let us see which hand is more likely.

How many hands have four of a kind? There are 13 ways that we can specify the value for the four cards. For each of these, there are 48 possibilities for the fifth card. Thus, the number of four-of-a-kind hands is $13 \cdot 48 = 624$. Since the total number of possible hands is ${52 \choose 5} = 2598960$, the probability of a hand with four of a kind is $624/2598960 = .00024$.

Now consider the case of a full house; how many such hands are there? There are 13 choices for the value which occurs three times; for each of these there are ${4 \choose 3} = 4$ choices for the particular three cards of this value that are in the hand. Having picked these three cards, there are 12 possibilities for the value which occurs twice; for each of these there are ${4 \choose 2} = 6$ choices. Thus the number of full house hands is $13 \cdot 4 \cdot 12 \cdot 6 = 3744$.

一副牌里的阶级

打牌的人都知道牌型大小：同花顺最大，往下四条、葫芦、同花、顺子、三条、两对、一对、散牌。

可几乎没人问过一句：这个顺序是谁定的？

谁说了"三条必须小于同花"？谁规定"两对不能压过顺子"？这看起来像传统、像约定、像牌桌上代代相传的规矩。

它不是规矩，它是数出来的。

原书这篇就是拿最常见的疑问开刀：四条为什么压得过葫芦？论"看起来的强度"，三个一样的加一对，跟四个一样的带一张，哪个更"整"？说不清。论稀有度，答案一句话：

四条比葫芦难得六倍。

这一篇要做的，就是把"难得六倍"这句话从 52 张牌里数出来。

这道题在问什么

一副 52 张的牌，洗匀，随手抓 5 张。问：

• 抓到四条（四个同点数）有多少种抓法？
• 抓到葫芦（三个同点数 + 一对）有多少种抓法？
• 哪个更容易？

先说分母——所有可能的五张牌：

$$\binom{52}{5} = 2598960.$$

（约 260 万种，这是本文所有比例的基准。）

算一下

第一步：数四条。

四条的意思是"某个点数出现四次，另外随便一张"。

• 哪个点数出现四次？13 个点数里挑一个：13 种。
• 那个点数有四张牌（黑桃红桃方块梅花），四次要全拿，没有选择余地，1 种。
• 第五张随便是什么，但不能也是这个点数（那不成五条了），所以从剩下 $52-4=48$ 张里挑：48 种。

$$13 \times 1 \times 48 = 624\ \text{种}.$$

第二步：数葫芦。

葫芦的意思是"某个点数出现三次，另一个点数出现两次"。

• 哪个点数出三次？13 个里挑一个：13 种。
• 这个点数的四张牌里挑三张：$\binom{4}{3} = 4$ 种。
• 哪个点数出两次？不能跟刚才那个重复，剩 12 个里挑：12 种。
• 这四张牌里挑两张：$\binom{4}{2} = 6$ 种。

$$13 \times \binom{4}{3} \times 12 \times \binom{4}{2} = 13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3744\ \text{种}.$$

第三步：比。

$$\frac{3744}{624} = 6.$$

葫芦的抓法正好是四条的六倍。

换成概率：

$$P(\text{四条}) = \frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0.00024,$$ $$P(\text{葫芦}) = \frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0.00144.$$

四条约 4165 次出现一次，葫芦约 694 次出现一次。越罕见的牌型越大——这就是扑克牌排序的全部秘密。

为什么靠"数"而不是靠"看"

算完了，把扑克牌的整个等级表拉出来看会更有意思：

牌型	组合数	大约多久出现一次
同花顺（含皇家同花顺）	40	64974 次
四条	624	4165 次
葫芦	3744	694 次
同花	5108	508 次
顺子	10200	254 次
三条	54912	47 次
两对	123552	21 次
一对	1098240	2.4 次
散牌	1302540	2.0 次

这张表说了什么？

它说扑克牌不是按"看起来多厉害"排的，是按"多难凑"排的。整张表从上到下，组合数一路放大——同花顺到散牌差了 32000 多倍。

而这个排序还有一个妙处：它在数学上恰好是"越罕见 = 越高"这条单调规则的完美落地。 玩家凭手感摸出来的等级，跟数出来的等级严丝合缝。这不是巧合，这是规则设计者（无论有意还是无意）做的正确事。

顺带说一句"同花小于葫芦"这件事常被新手质疑——同花 5108 种，葫芦 3744 种，同花其实更容易，所以同花更小。牌桌上的"我觉得同花比较厉害"又一次输给了数数。

在课堂上怎么办

这个例子是全班最容易动手的一个——不用发牌也能上。

先问："五张牌，抓四张一样和抓三加二，哪个更难？"让学生举手表决，通常一半对一半。

然后分组，给每组一道题：算出四条有多少种、葫芦有多少种。只给组合公式 $\binom{n}{k}$，不给提示。

十分钟后收答案。收到 $624$ 和 $3744$ 的时候，让他们自己相除——6。全班"哦——"的那一声，跟你直接宣布答案完全是两回事。

接下来这节课最值得做的：把上表空着前半列发下去，让每组认领两三种牌型回去数，下课前拼成完整的一张表。拼完的那一刻，学生会亲眼看见一条贯穿全表的单调规律。

如果有学生问"那为什么散牌（高牌）最大组合数却排最后"——这是最好的提问，说明他真的在看表。答案是：因为"散牌"是兜底类别，凡是不构成以上任何牌型的五张牌都算散牌，所以它的组合数必然最大，也因此必须排最末。

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. 按本文的方法数"同花"（五张同花色）有多少种。提示：先想清楚花色怎么选、点数怎么避开同花顺。
2. "三条"的排名在同花之下、两对之上，可它真的比两对罕见吗？数一数三条有多少种、两对有多少种，看是否符合"越罕见越大"。
3. 表中的散牌有 1302540 种，一对有 1098240 种——散牌比一对还多？ "散牌"和"一对"的顺序跟组合数大小矛盾吗？为什么？（提示：想想"散牌"这个类别是怎么定义的。）