三个候选人，一个退选了，概率该怎么重分

重分比例取决于退选者的票怎么走

English（原书原文）

Consider our voting example from Section 1.2: three candidates A, B, and C are running for office. We decided that A and B have an equal chance of winning and C is only 1/2 as likely to win as A. Let $A$ be the event "A wins," $B$ that "B wins," and $C$ that "C wins." Hence, we assigned probabilities $P(A) = 2/5$, $P(B) = 2/5$, and $P(C) = 1/5$.

Suppose that before the election is held, $A$ drops out of the race. As in Example 4.1, it would be natural to assign new probabilities to the events $B$ and $C$ which are proportional to the original probabilities. Thus, we would have $P(B \mid A) = 2/3$, and $P(C \mid A) = 1/3$.

It is important to note that any time we assign probabilities to real-life events, the resulting distribution is only useful if we take into account all relevant information. In this example, we may have knowledge that most voters who favor $A$ will vote for $C$ if $A$ is no longer in the race. This will clearly make the probability that $C$ wins greater than the value of 1/3 that was assigned above.

一次什么都没少、却什么都变了的选举

三个候选人：甲、乙、丙。

开票前，庄家开的盘口是这样的：

• 甲的赢面：$\dfrac{2}{5}$
• 乙的赢面：$\dfrac{2}{5}$
• 丙的赢面：$\dfrac{1}{5}$

甲和乙势均力敌，丙只有他俩一半。三个数加起来等于 1，一盘干干净净的赌局。

然后，投票前三天，甲退选了。

问：乙和丙的赢面各是多少？

这是个纯算术问题，而且是干净得让人放心的那种。

$$P(B \mid \bar{A}) = \frac{2/5}{2/5 + 1/5} = \frac{2}{3}, \qquad P(C \mid \bar{A}) = \frac{1/5}{2/5 + 1/5} = \frac{1}{3}.$$

乙从 $2/5$ 涨到 $2/3$，丙从 $1/5$ 涨到 $1/3$。没有多一个选民，没有多一张选票，两个概率都涨了——因为原来归甲的那 $2/5$ 空出来了，得有人接手。

到这一步，这道题看起来已经完了。算术无误，答案标准。

可原书最后添了一句让人很不舒服的话。

这道题在问什么

先看清这道题做了几个动作。

它只做了一个动作：甲退选，原来归甲的那份概率，按乙和丙原本的比例分给他们。

$2/5$ 归乙、$1/5$ 归丙，比例是 $2:1$。所以甲空出来的 $2/5$ 被切成 $2:1$ 两份，乙得 $\dfrac{2}{3}$、丙得 $\dfrac{1}{3}$。

这个做法有个名字，叫归一化——把"不可能事件"的概率拿掉，剩下的按原比例放大，让总数回到 1。

它干净、机械、算得快，而且在不知道任何别的情况时，它是你能做的最好推断。

问题在于：我们通常知道点别的。

原书最后那句话，才是这道题的正主

原书写完 $2/3$ 和 $1/3$ 之后，补了这么一段（本文开头英文引用块的第三段）：

我们在现实中给事件定概率，定出来的分布只有在我们把所有相关信息都考虑进去时才有用。在这个例子里，我们可能知道多数支持甲的选民，在甲退选后会转投丙。这显然会让丙获胜的概率高于上面算出的 $1/3$。

翻译一下这段话在说什么：

$1/3$ 这个答案，是"我什么都不知道"的答案。而现实中你几乎不可能什么都不知道。

如果甲的粉丝和丙的粉丝政治光谱更近——比如甲和丙都主张加教育预算，乙主张砍——那么甲空出来的那 $2/5$，大部分会流向丙，而不是按原来的 $2:1$ 分。

这时候丙的真实赢面是多少？不知道。但它大于 $1/3$。

而乙呢？乙拿的是"我谁都不认识"的那个 $2/3$。一旦你加入"甲的票会转投丙"这条信息，乙的 $2/3$ 立刻蒸发。

同一个公式，两种命运

这道题和上一篇（掷骰子条件概率）用的是同一个公式：

$$P(B \mid \bar{A}) = \frac{P(B)}{P(B) + P(C)}.$$

上一篇里，这个公式是对的、唯一的答案。因为骰子不记得你、不偏袒谁，$m(\omega) = 1/6$ 是物理事实。

这一篇里，同一个公式给出的 $2/3$ 和 $1/3$，只是"在信息最少的前提下，最稳妥的猜测"。

公式没变，公式的地位变了。

在赌场里，条件概率给你真相。在选举、股市、疫情预测里，它给你的是一个取决于你掌握了多少信息的估计。

这就是概率作为数学和概率作为工具的分界。数学里，$P(B \mid \bar{A})$ 由一个分布唯一确定；现实里，那个分布本身取决于你知道什么——而"你知道什么"这件事没有公式能替你决定。

在课堂上怎么办

这个例子适合当引子，用不了半节课，但它能把一个抽象的坑挖得很深。

开场先做一个只有两个选项的版本：

"甲和乙各 $50\%$，现在甲退选，乙变成多少？"

全班会喊 $100\%$——对。这个太容易，没人会多想。

然后加第三个选项：

"甲 $50\%$、乙 $30\%$、丙 $20\%$。甲退选，乙和丙各多少？"

这时候一定会有学生直接喊"乙 $80\%$、丙 $20\%$"——这是本题的核心错误：把归甲的 $50\%$ 全加到乙头上，把丙原本的 $20\%$ 忘了也要跟着涨。 让他到黑板上算：$\dfrac{0.3}{0.3+0.2} = 0.6$、$\dfrac{0.2}{0.5} = 0.4$，乙丙都得涨。

等他算完，再抛原书那句话：

"如果我现在告诉你——支持甲的人七成会转投丙。你刚才那 $0.6$ 和 $0.4$，还成立吗？"

让全班安静十秒。学生会自己发现：他刚才算的不是答案，是一个假设下的答案。

这节课的收尾可以让学生用自己的话说：什么情况下 $0.6/0.4$ 是对的？（答：甲的票怎么分流你一无所知。）什么情况下它是错的？（答：你知道甲的票偏向某一方。）

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. 四个候选人，赢面分别是 $0.4$、$0.3$、$0.2$、$0.1$。第一个退选后，剩下三个的概率各是多少？先猜，再算。
2. 赌场里轮盘赌开出一个数字后重新下注，跟选举里候选人退选后重开盘口，同样用条件概率，为什么前者有唯一正确答案、后者没有？
3. 原书说"多数支持甲的选民会转投丙"。假设甲的选票七成转投丙、三成转投乙，丙的新赢面精确是多少？提示：这个数算得出来，但它已经不再是纯粹的数学问题了。