你已经等了十分钟，下一班车不会因此更靠近你

P(T>s+t | T>s) = P(T>t)：等待不攒存

English（原书原文）

The geometric distribution plays an important role in the theory of queues, or waiting lines. For example, suppose a line of customers waits for service at a counter. It is often assumed that, in each small time unit, either 0 or 1 new customers arrive at the counter. The probability that a customer arrives is $p$ and that no customer arrives is $q = 1 - p$. Then the time $T$ until the next arrival has a geometric distribution.

十分钟站台

晚高峰，公交站台。

你伸着脖子等车。车隔三差五地来，可你完全摸不准。等了三分钟，没来。等了五分钟，还没来。等到第十分钟的时候，你心里那个声音几乎压不住了：

"都等这么久了，下一分钟总该来了吧？"

这个声音人人都听过。它还有一个更响亮的名字——赌徒谬误。赌场里输红了眼的人觉得"该转运了"，球场上的观众觉得"他连失五个该进了"，都是同一个声音。

而这个声音是错的。

更准确地说：在"每一分钟来不来互相独立、概率不变"这个模型下，你等过的这十分钟，一点信息都没有留下。

下面这句话是这篇的全部内容，值得抄在黑板上：

在你已经等了十分钟的条件下，还要再等至少三分钟的概率，等于一个刚来的人等三分钟的概率。

右边这个人刚踏进站台，鞋底还是干的。你在这站了十分钟，腿都麻了。可在数学眼里——你们的未来完全相同。

这道题在问什么

先把模型摆清楚，因为本篇所有的反直觉都从模型来。

时间被切成一分钟一分钟的小格。每一分钟里：

• 来一辆车的概率是 $p$；
• 不来的概率是 $q = 1-p$；
• 每一分钟都独立，概率不变。

问：到第一辆车到来为止，总共等多少分钟？

这个等候时间 $T$ 服从几何分布。原书说它在排队论（ queues，等待线）里举足轻重——因为"等下一个"这件事，从等公交、等顾客、等电话，到等一枚放射性原子衰变，到处都是。

取一个具体的数，让全篇有锚：$p = 0.1$，也就是平均十分钟来一辆。

算一下

第一步：等超过 $k$ 分钟，概率是多少？

"等超过 $k$ 分钟"意思是前 $k$ 分钟一辆都没来。每分钟不来的概率是 $q$，$k$ 分钟都不来：

$$P(T > k) = q^{k}.$$

$q = 0.9$，代几个数：

等待时长	$P(T>k) = 0.9^k$
3 分钟	0.7290
5 分钟	0.5905
10 分钟	0.3487
20 分钟	0.1216

它是按指数往下掉的，不是直线。 这一点待会儿还要用。

第二步：平均要等多久？

$$E[T] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.1} = 10\ \text{分钟}.$$

平均十分钟。这个 $1/p$ 怎么来的，一种讲法是：今天等不到车的概率是 $q$，那"还得再等一个十分钟"的机会就是 $q$，如此层层叠：

$$E[T] = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{p}.$$

第三步（本篇的正主）：你等了十分钟，还要再等三分钟的概率。

按条件概率的定义：

$$P(T > 13 \mid T > 10) = \frac{P(T > 13)}{P(T > 10)} = \frac{q^{13}}{q^{10}} = q^{3}.$$

代进去：

$$q^3 = 0.9^3 = 0.729.$$

而一个刚来的人等三分钟的概率是多少？

$$P(T > 3) = q^3 = 0.729.$$

一模一样。

这不是因为 13 和 10 这两个数字凑巧。把上面的推导里的数字换成任意的 $s$ 和 $k$：

$$P(T > s+k \mid T > s) = \frac{q^{s+k}}{q^{s}} = q^{k} = P(T > k).$$

$s$ 被约掉了。

这就是记忆性（memoryless property）：$q^{s}$ 在分子分母上同时出现，一除就没了。你已经熬过的那段等待，在概率上被彻底抹掉。

概率不记得你等过。 这不是冷漠，这是模型里"每分钟独立、概率不变"的直接后果。

三个数字并排放，才知道"平均"多会骗人

算完了，把三个数摆在一起看：

	数值
一分钟之内车就来的概率	$0.1$
平均等候时间	$10$ 分钟
等候超过十分钟的概率	$0.3487$
等候时间的中位数	$7$ 分钟

四件事同时成立：

• 一成的概率，下一分钟车就来；
• 可平均要等十分钟；
• 等超过十分钟的概率只有三分之一多；
• 一半的人等不到七分钟就走掉了。

多数人等极短，少数人等得极长，平均被那少数人一路拽到十分钟。

学生听到"平均等十分钟"，脑子里浮现的是"我大概会等十分钟左右"。可真相是：七分钟以内你就走的可能性已经过半了。

"平均"不是"典型"。这是"平均等十分钟"这句话最该配套的警告。

反过来用一次这个模型，你会看见自己错在哪

把记忆性用到赌徒最爱的那种场景里。

一个人连等五辆车，每辆都刚走。他会想："我错过五辆了，下一辆总该是我的吧。"

模型说：错过五辆之后，等到下一辆的分布，和你一分钟前刚走进站台时完全一样。

赌徒谬误的病灶就在这——他把"过去五次都没中"当成了"未来一次更可能中"的理由。可在独立重复的模型里，过去不影响未来，一分一毫都不。

硬币连出五个正面，第六次出正面的概率还是 $1/2$。硬币没有记忆，骰子没有记忆，按这个模型，世界没有记忆。

（当然要给学生留一个口子：如果第 $k$ 分钟来车的概率 $p$ 本身会随时间或客流变化，记忆性立刻失效。所以这句话的铁证前提是"$p$ 不变"。）

在课堂上怎么办

这个例子的课堂部分可以完全交给学生动手，教师要做的只是把规则定死。

道具：一枚骰子，或者计算器的随机数功能。规则：每"一分钟"掷一次，掷出 6 算车来（概率 $1/6$），否则再等一分钟。每个人记下自己等了多久。

关键的一步来了：让学生只记录"等待超过 10 分钟的那些局，在第 10 分钟之后又等了多久"，看其中又有多少局超过 3 分钟。

把全班的记录汇总：

	期望比例
刚开局就等超过 3 分钟	$(5/6)^3 \approx 0.579$
已经等了 10 分钟、还要再等超过 3 分钟	$(5/6)^3 \approx 0.579$

两个数应该差不多。 当学生亲眼看到"等过和没等过的两组人比例一致"时，比你讲十遍都管用。

如果时间紧，可以退一步：只让全班统计"平均等多久"和"等不到 3 分钟的比例"，先把"平均不等于典型"这个感觉建立起来。

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. $p = 0.1$ 时，平均等 10 分钟。如果 $p$ 改成 $0.5$（一分钟内来车的概率一半），$P(T>10)$ 是多少？先猜，再算——答案小得会让学生吃惊。
2. 一个赌徒说："我连等五辆车都没上，下一辆总该我了。"用这一篇的模型反驳他。如果他说的"该"指的是"概率比刚来的人更高"，他错在哪？
3. 如果第 $k$ 分钟来车的概率不再是固定的 $p$——比如高峰期 $p$ 会变大——记忆性还成立吗？为什么？