生日悖论——23 个人就够

English（原书原文）

How many people do we need to have in a room to make it a favorable bet (probability of success greater than 1/2) that two people in the room will have the same birthday?

Since there are 365 possible birthdays, it is tempting to guess that we would need about 1/2 this number, or 183. You would surely win this bet. In fact, the number required for a favorable bet is only 23.

先用一个班演示一遍

不用纸笔，站在讲台上就能做。

"今天谁的生日跟我同一天？请在座的同学看一下自己生日——如果没人跟我一样，我请全班喝汽水。"

结果基本是你掏钱。一个班四五十人，撞上某个具体日子（比如 10 月 4 日）的概率小得可怜，"没人跟我一样"是几乎注定的事。

然后换一句话问：

"班里任意两个同学，生日相同的概率是多少？"

四五十人的班，这个概率接近九成。两句话之间隔着一整个数量级，而学生往往以为它们在问同一件事。

生日悖论的全部机关，就在这两句话的区别里。23 这个数字，问的是第二句。

这道题在问什么

原书问得很干净：一个房间里要多少人，押注"至少有两人生日相同"才划算？

直觉说 183 —— 一年 365 天，凑到一半总该有了吧。真答案是 23。 不是脑筋急转弯，是老老实实算出来的，而且每届学生都能当场验证。

反直觉到什么程度：只要 23 个人，胜率 $50.7\%$；到 40 个人，概率已经 $89.1\%$；70 个人，$99.9\%$。

算一下

第一步，也是最关键的一步：「至少一个」永远先算它的对立面。

"至少两人生日相同"，它的对立面不是"全都相同"，是"没有任意两人生日相同"，也就是全部不同。于是

$$P(\text{至少一对相同}) = 1 - P(\text{全部不同}).$$

不等式过安检还得先办签证，同一天进两次门总有先知会的那一个——先算它。

**第二步：数"全部不同"。

假设一年 365 天，忽略闰年，每个人的生日等可能落在那一天。

第一个人的生日有 $365$ 种。第二个人要避开第一个，剩 $364$ 种。第三人剩 $363$ 种……第 $r$ 个人剩 $365-r+1$ 种。所以 $r$ 个人全不同的序列数是

$$365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot \dots \cdot (365-r+1).$$

原书给这个连乘起了一个名字：$(n)_r$，读作"$n$ 下 $r$"，写起来省事：

$$p_r = P(\text{全部不同}) = \frac{(365)_r}{365^r}.$$

第三步：代数字。

$$p_{22} \approx 0.5243, \qquad p_{23} \approx 0.4927.$$

$r=22$ 时全不同的概率还压在 $1/2$ 上面，$r=23$ 就掉下去了。所以在 23 人的房间里

$$P(\text{至少两人生日相同}) = 1 - 0.4927 \approx 0.5073,$$

刚刚过半。这就是那个" favorable bet "的最低人数。

书里还给了后半程的参照：$p_{30}\approx0.2937$、$p_{40}\approx0.1088$、$p_{50}\approx0.0296$、$p_{60}\approx0.0059$、$p_{100}\approx0.0000003$。房间越大越没有悬念。

为什么 23 就够——这里才是本篇的正主

算完公式，学生心里那个疙瘩还在：23 个人，一人占一天，才 $23/365 \approx 6.3\%$，怎么凑一凑就过半了？

因为 $23/365$ 从头到尾就不是这道题在算的东西。

这道题里，真正参与比较的不是"23 个人和 365 天"，而是这 23 个人两两之间组成的配对。几个人站在一起互相握手，握几下？

$$\binom{23}{2} = \frac{23\times 22}{2} = 253$$

253 对。是这个数在跟 365 比，不是 23。

而 $\dfrac{253}{365}\approx0.69$ —— 一旦越过一半，两人生日撞上就变成大概率事件。

那具体到多少？把 253 对都当成彼此独立（它们其实不独立，但给得出一个极好的直觉锚点），至少一对撞上的概率约是

$$1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{253} \approx 0.5005.$$

真实值 $0.5073$ 比它还略高一点点——真实世界里各对之间彼此牵连，反而制造了更多撞上的机会。但无论精确到小数点后几位，结论是同一句：23 人，刚刚过半。

学生最常犯的错误就是把"自己跟某一天比"（约 $6\%$）误当成"任意两人比"（$50.7\%$），差出的近八倍，全在 253 这个数里。

在课堂上怎么办

这个例子是全篇最好玩的一个——它不需要教师动手，学生会自己算。

课前准备：先让学生写下自己的出生月日，收上来。然后课堂上念数字："3 月 17 日！谁跟我同一天？"

念到第三四个人，通常就有人举手。全班"哦——"的那一声，比推导管用。

再往下可以让学生自己编一个小程序：让 $r$ 从 5 走到 60，把 $1-p_r$ 打出来，找出跨过 $50\%$ 的那个 $r$。让他们亲眼看见数字卡在 23，而不是听你说 23。

如果时间宽裕，还可以让他们顺手把 23 改成 22 跑一遍：$0.4757$，就差四个人，结论翻个面。这个"差一点"比"刚好"更容易让人记住。

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. 如果问的是"我的生日跟班里任意一个人相同"，$r$ 个人时概率是多少？这个答案跟 $23$ 有什么关系？
2. 一年改成 100 天（火星年），临界人数还是 23 吗？先猜，再开算。
3. 如果 10 月 4 日这天出生的概率是平常日子的两倍（现实中的确有这种情况），临界人数往哪边移？提示：想想"全不同"是变难了还是变容易了。