蒙提霍尔问题——换门还是不换门

English（原书原文）

We consider now a problem called the Monty Hall problem. This has long been a favorite problem but was revived by a letter from Craig Whitaker to Marilyn vos Savant for consideration in her column in Parade Magazine. Craig wrote:

Suppose you're on Monty Hall's Let's Make a Deal! You are given the choice of three doors, behind one door is a car, the others, goats. You pick a door, say 1, Monty opens another door, say 3, which has a goat. Monty says to you "Do you want to pick door 2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?

一道题，让一千个博士写信骂她

先用这道题的来历压个场。

玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant），你可以不知道她，但你多半听说过她的头衔——吉尼斯世界纪录"最高智商"栏目从 1985 年挂到 1989 年，那几年她的名字一直在上面。她在《Parade》杂志开了个读者问答专栏，专门回答寄给她的各种刁钻问题，答对答错全凭公开示众。

1990 年秋天，一位叫 Craig Whitaker 的读者寄来了这道题。

她的回答意思很简短：该换。

然后事情失控了。这个专栏前后收到上万封来信，其中约一千封信末署着博士学位——有大学数学教授，有研究机构的统计学家。有人写"请你承认错误"，有人写"你是当代最大的数学糊涂虫"。他们的理由朴素且一致：主持人开掉一扇门之后，剩下两扇门是对称的，各占一半，换不换没有区别。

有趣的是，那些信里最气愤的，恰恰是数学最好的人。

莎凡特没有退。她的回应带点挑衅：你们自己模拟一个一百万次，看看谁对。后来真有学校和读者这么做了——操作员模拟出的胜率死死贴在 $2/3$，来信渐渐从训斥变成了沉默。

现在回头看，这些人错得很有意思——他们不是不会算，是先认定了"剩下两扇门一样"，然后才去算的。 这道题的分量全在这个"先认定"上。

这道题在问什么

题面一句话就能说完：三扇门，一辆车两只羊。你选一扇。主持人知道车在哪，走过去打开另一扇，是羊。他问你，要不要换成最后那扇没开的。

真正的问题不是"换不换"，是：剩下这两扇门，凭什么还一人一半？

仔细看那两个"门"——

你选的那扇，是你从三扇里头随机挑的，背后有车的可能是 $1/3$。

而另一扇，是主持人替你筛过一轮之后漏下来的。他手里有剧本，他只看车在哪，然后每次都准确地开一扇羊门。他这一开，看起来只是"少了一扇门"，实际上是在你面前做了一次筛选。

一扇没被筛过，一扇被筛过。它们不等价。

算一下

这题有三种讲法，由浅入深，卡在哪一层就从哪一层接着讲。

第一层：先别管原题，问个更笨的。

假设你在游戏开始前就打定主意：打死不换。那你赢的概率是多少？

$1/3$。车等可能在三扇门后，你选一扇，选中就是 $1/3$，再没有别的信息进来——主持人的动作跟你没关系了。

第二层：那如果反过来，一开始就打定主意换呢？

换门赢，当且仅当你一开始选错了。

一开始选错的概率是 $2/3$。所以打定主意换，胜率就是 $2/3$。

两行字，结束了。没有树，没有条件概率。

第三层：但莎凡特被骂，是因为原题比这个更刁。

原问题问的不是"打定主意换"那种抽象策略，而是一个具体局面：你选的是 1 号门，主持人开的是 3 号门——就在这个已知信息之下，换门的胜率是多少？

这个必须老老实实算。用树，三条路径，每条先验概率都是 $1/3$：

• 车在 1 号（$1/3$）：你有车，主持人在 2、3 号里随便挑一扇开，开 3 号的概率 $1/2$。这条走到"他开 3 号"的联合概率是 $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$。
• 车在 2 号（$1/3$）：你选错了，3 号是唯一可开的羊门，他只能开 3 号，概率 $1$。联合概率是 $\dfrac{1}{3}$。
• 车在 3 号（$1/3$）：车就在他要开的那扇后面，开不了。概率 $0$。

三条路径里，能走到"他开了 3 号"的只剩前两条。把它们归一化：

$$\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = 1 : 2$$

也就是说，在看到"他开了 3 号"之后，车在 1 号后的概率是 $1/3$，在 2 号后的概率是 $2/3$。

换，胜率 $2/3$。

原书还补了一刀，我觉得比答案本身更值钱：如果主持人"有得选时偏爱开大门号"（比如 $3/4$ 的概率开大号），那么第二层的"打定主意换"胜率仍是 $2/3$，但这第三层的条件胜率会变成 $4/7$。主持人的小习惯是有信息的。 只是我们默认他公正，才刚好回到 $2/3$。

在课堂上怎么办

这题讲十遍不如赌一遍。

三人一组，用扑克牌代替门：一张黑桃当车，两张红桃当羊。学生轮流当主持人——关键是主持人必须知道牌在哪，演得像模像样地犹豫一下再开。每组玩三十轮，一半时候打定主意不换，一半时候打定主意换，把胜负记在白板上。

三十轮下注，$2/3$ 和 $1/3$ 的差距会自己浮出来。有的组运气差，$2/3$ 那一列反而输了——别放过这个，那正是讲"概率管长期，不管单次"的现成机会。

如果要更进一步，让学生把三十轮里"第几局赢了"标出来，看换门那一列的胜利是不是集中在"一开始选错"的那些局——他们自己会发现换门赢的全部秘密就在这一句。

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. 如果主持人不知道车在哪，随手一开恰好开到羊，换门还有优势吗？（提示：用上面那棵树重算，第二层和第三层的答案会怎样变化？）
2. 换成 100 扇门，主持人开掉 98 扇羊门，你换不换？这时候还有人说"剩下两扇各一半"吗？
3. 主持人若有得选时偏爱开大门号（概率 $3/4$），换门胜率会变吗？哪一层变，哪一层不变？