第11讲 一条几何的华人脉络 —— 苏步青、陈省身、丘成桐

前面讲过吴文俊——他在 1976 年末开始定理机械化证明的研究，次年春节期间做出成果——那是第 3 讲《一间小屋能装下什么》里的内容。这一讲不讲吴文俊。

这一讲讲三个人：苏步青、陈省身、丘成桐。他们代表了三个不同的方向，但都是几何学家，都是从中国出发、进入世界数学中心、并在最难的领域里建立起属于自己的东西的人。

几何是这个专题里最容易被讲"虚"的一个领域。 学生知道欧几里得、知道勾股定理、知道三角形相似——但这些是初等几何，是公理化体系的入门课。他们很少接触到"现代几何"，也就是研究流形、曲率、拓扑不变量这些概念的几何。这一讲的任务就是把这道门推开一条缝，让学生看到现代几何长什么样。

苏步青：在中国建一个学派

苏步青（1902—2003）1919 年赴日本留学，1931 年获东北帝国大学博士学位。他的研究领域是仿射微分几何和射影微分几何，这两个方向在今天看来已经很经典，但在 1930 年代还是前沿。

他最重要的贡献不是某一道题的解，而是他建立了一个学派。 1949 年后他在复旦大学建立数学系，培养了几代学生：谷超豪、胡和生、李大潜等人都是他的门生。这个传统一直延续到今天——复旦的几何学派依然是中国微分几何最强的团队之一。

苏步青的故事里有一个细节值得讲清楚：他在日本读博士的时候，导师川村贞是当时世界顶级的仿射微分几何专家。苏步青在他手下做的研究，质量不亚于任何欧洲同行的工作。这意味着"中国出身"不等于"只能在国内做贡献"——苏步青在德国的学术圈里拿到的是同级别的认可。

陈省身：在普林斯顿重建几何的语言

陈省身（1911—2004）1930 年代先后到汉堡、巴黎，1943 年到普林斯顿高等研究院。他的工作是现代整体微分几何的奠基之一。

陈类（Chern class） 是陈省身最重要的发明。它是一套"伴随向量丛的拓扑不变量"——听起来抽象，但它的意义可以这样说：一个向量丛（简单来说，就是一个空间上每一点都挂着一个向量空间的结构）不可能在整个空间上同时给出处处非零的连续截面，当且仅当其陈类非零。

这是整体微分几何的核心结论之一。它把"局部可不可能"和"整体有没有障碍"这两个问题用同一个数字联系起来了。这个数字就是陈类。

陈省身 1984 年在南开大学建立数学研究所，把主要精力放在培养中国本土人才上。他晚年常说的一句话是：数学是中国人的事业。 这不是口号——他是真的在南开培养了一批又一批几何学家，其中很多人后来成为各自领域的带头人。

丘成桐：证明卡拉比猜想

丘成桐（1949—）1976 年 27 岁时证明了卡拉比猜想，这是现代微分几何史上最重要的成果之一。

卡拉比猜想的内容是：在一个紧复流形上，只要第一陈类满足特定符号条件，就存在唯一的卡拉比—丘流形（Calabi–Yau manifold），使得其里奇曲率为零。 用更直白的话说：在给定的拓扑框架下，存在一个最"自然"的度量。

丘成桐的证明用了两个关键步骤：第一步是证明里奇流的存在性和正则性（这需要他发展一套新的偏微分方程技巧）；第二步是证明解的唯一性。这里有一个容易被忽略的细节：他的合作者 Richard Schoen 一起证明了正质量猜想（positive mass conjecture），这是广义相对论和几何交叉的一个重要结果。

1982 年丘成桐获菲尔兹奖——他是第一位获得该奖的华人。获奖理由是："对代数微分几何的杰出贡献，包括复流形的正定性、卡拉比猜想的证明，以及微分几何中的其他成果。"

卡拉比–丘流形这个名字后来在物理学里 became central： 弦理论需要十维时空，其中四维是我们看到的宏观维度，另外六维卷缩成极小的卡拉比–丘流形。一个纯数学的猜想，后来成了物理学家描述宇宙的工具。 这件事本身就值得向学生讲清楚——"抽象数学有什么用"这个问题的最好答案，往往藏在数学史里。

他们三代的连接

苏步青生于 1902 年，陈省身生于 1911 年，丘成桐生于 1949 年。他们不是一个老师带出来的，但有一条隐形的连接：

苏步青在复旦建立了中国最早的微分几何研究生培养体系；陈省身在伯克利带出了一批学生，其中丘成桐是 1960 年代末到伯克利求学时受其影响的；丘成桐后来回国创办清华丘成桐数学科学中心，推动中学生数学竞赛和少年班培养。三代人形成了一条隐形的传承链：国内建立 → 国际突破 → 回国培养。

这条链的特别之处不在个人成就，而在它证明了一件事：中国学者可以在最难的几何问题上与世界最高水平并跑，而不是只能跟在后面。

陈类的加性性质体现在短正合列上：若 $0\to E'\to E\to E''\to 0$ 是向量丛的正合列，则

其中 $c(E)=1+c_1(E)+c_2(E)+\cdots$ 是总陈类。这条公式在任意维流形上都成立——无论空间多么弯曲。

讲给学生听时，讲什么

第一，把"几何"的定义拓宽。 学生以为几何是画三角形、算面积——这是初等几何。现代几何研究的是流形、曲率、拓扑不变量。告诉学生：几何不是"图形学"，是"结构的学问"。

第二，用卡拉比–丘流形讲"纯数学最终被物理使用"这件事。 弦理论的十维时空里，六维卷成卡拉比–丘流形。丘成桐 1976 年证明猜想时，弦理论还不存在。但二十年后物理学家发现这个数学工具正好能用。"抽象数学有什么用"的答案藏在历史里，而不是在当下的考试里。

第三，强调"学派传承"。 苏步青在复旦、陈省身在伯克利、丘成桐在清华——三条线各自独立，但形成了一条隐形的链。数学的进步不只是个人的天才，是学派、传统、学生代际传递的结果。 这对习惯"单打独斗做题"的学生是一种视角的打开。

一句话总结

从国内建学派，到在国际上创领域，再到解决被公认无解的难题——这是一条可以重复的路径，不是奇迹。

附：本文涉及的史实出处

• 苏步青：仿射微分几何与射影微分几何奠基人；复旦数学系建立者；谷超豪、胡和生、李大潜为其门生
• 陈省身：整体微分几何创立者；陈类（1946）；1984 年创建南开数学研究所；"数学是中国人的事业"
• 丘成桐：卡拉比猜想证明（1976，与 Richard Schoen 合作证明正质量猜想）；1982 年菲尔兹奖；清华丘成桐数学科学中心创办人