第4讲 给古书作注的人

前三篇讲的都是做研究的人。这一讲讲做研究的一种特殊方式：给古书作注。

这种方式在今天几乎消失了，但在中国古代数学里它是主流。而且它恰恰产出了最硬的东西。

刘徽：注疏里长出一个体系

《九章算术》是中国最重要的数学经典，成书不晚于东汉，收集了 246 道应用问题和他们的解法。它有个特点：只给算法，不给证明。

它说"半周半径相乘得积步"——也就是圆面积公式——但不解释为什么。它给出开方、方程、面积的算法，全是操作步骤。

刘徽（约 225—约 295，魏晋时人）做的工作是给这本书作注。魏景元四年（263 年）《九章算术注》成书，共九卷。

他注的不是字句，是道理。 他说自己的宗旨是"析理以辞，解体用图"——用文字讲清道理，用图形说明问题。他为圆面积公式补上了证明，用割圆术；他为《九章》里各章的算法建立了思想体系；他还纠正了原书的若干错误。

他在注里写自己的态度：「敢下阙疑，以待能言者」——凡是我不能确定的，就明确标出存疑，留给后来能解决的人。结果是《九章算术注》成了中国传统数学的精华，现代数学史家普遍认为刘徽是中国数学理论的奠基人。

一个注家成了奠基人。 这不是因为他读得细，是因为他在别人止步的地方继续往下挖，把"怎么做"追到了"为什么"。

而且他的影响能一直数下去：南北朝祖冲之沿他的割圆术算到圆周率七位小数；他提出存疑的"牟合方盖"问题，一百多年后由祖暅解决；他创立的方法本身就是中国数学两千年的骨架。

祖冲之：把算法走到尽头

祖冲之（429—500）不是注家，他是算法的执行者——但这条线必须接上，因为这是刘徽注疏的直接产物。

他沿刘徽的割圆术继续推演，最后得到的圆周率：约率 22/7，密率 355/113，小数形式精确到第七位 3.1415926。

这个精度的世界纪录保持了将近一千年。密率 355/113 在欧洲要到 16 世纪才由奥托和安东尼兹分别得出。

祖冲之还有一项工作直接受益于刘徽：他的儿子祖暅（祖暅之）提出"幂势既同，则积不容异"，解决了球体积计算——这正是刘徽在《九章算术注》里标为存疑、留给后人的那个"牟合方盖"问题。一百多年后，有人真的回去接那个存疑了。

徐光启：翻译出了一批词

明万历年间，徐光启与意大利传教士利玛窦合译欧几里得《几何原本》前六卷。这件事在中国数学史上的分量，有一半在译本本身，另一半在它留下的一批汉语术语。

几何、点、线、面、体、平行、三角形、直角、钝角、锐角——这些我们今天张口就来的词，都出自这一版翻译。徐光启对译名的选择讲究，据说他强调要用意义明确的字来造新词，而不是音译。

有意思的是他译到第六卷就停了下来。原因不在数学，在时局与人事。利玛窦 1610 年去世，徐光启 1633 年去世，后九卷要等到 1857 年才由李善兰与英国人伟烈亚力补译，1865 年曾国藩资助的全译本才告完成。

从徐光启译出前六卷到后九卷补齐，隔了 250 年。

李善兰：第二个"几何"

如果说刘徽和祖冲之代表了中国传统数学的高度，李善兰（1811—1882）代表了中国数学接触近代数学的起点。

他在 1850 年代与伟烈亚力合译《代微积拾级》（即美国罗密士的微积分教材）、《代数学》（即德·摩根的符号代数）。他创造的另一批术语同样活到了今天：代数、函数、常数、变数、系数、指数、微分、积分、级数、横轴、纵轴、双曲线、抛物线、切线、法线、 Abel 群、有理数、无理数。

注意"微积分"这三个字：这是李善兰定的名，原书名算"拾级"（阶梯）。他译"calculus"为微积分，讲的是微分与积分互为逆运算、积微成著的意思。今天全世界用汉字的人，讲这三个字时用的都是他的译法。

他自己也做研究——在组合数学上有以其命名的"李善兰恒等式"，他还用独立思考的方法得到了素数判定的一些结果。但他无法绕开一个限制：他不懂外文，采用的是"伟烈亚力口述、李善兰笔录并润色成文"的合作方式，而且他要靠着核算来确认自己没有译错。

他们共同的方法

四条线索并起来看，有个很现代的东西浮现出来。

第一，原文本是被当作活的材料用的。 刘徽为《九章》补证明，不是维护它，是修正它、发展它。《九章算术注》的篇幅远超原书。注家的目标从来不是"把古人的话讲清楚"，是借着古人的问题往下走。

第二，成果容易被低估，因为载体不起眼。 一部"注疏"听起来不像原创著作。这是中国数学史在近代被系统性低估的原因之一——欧洲的同类工作以专著形式发表，中国的最高成果常常藏在注里。

第三，译名是硬遗产。 徐光启和李善兰的译名寿命远超他们的生命。一个词的传播力比一本书大得多。

第四，一个人的工作可以由另一个人在一百年后接着做。 刘徽标下存疑，祖暅去解；徐光启译了六卷，李善兰补后九卷。这种跨代的接续在中国数学里是常态，在欧洲传统里反而少见——它依赖的是一种共同的问题意识，而不是学派门第。

讲给学生听时，讲什么

第一，讲清"作注"是什么。 学生大多只知道"背书"和"刷题"，不知道有一种高阶学习方式是在别人的文本上做批注——追问为什么，自己补缺口，把模糊的地方标出来等以后解决。刘徽"敢下阙疑"这句话，几乎可以直接复印给学生当学习方法。

第二，讲清中国人早年用的是同一套思路。 学生会以为数学史就是欧几里得—牛顿—高斯的单线，容易忽略中国古代的数学成就恰恰是注疏式工作的产物。这不是民族情绪，是事实：刘徽的割圆术包含了极限思想，比欧洲同类工作早一千多年。

第三，讲清译名的分量。 学生每天都在说"代数""函数""微积分"，但很少被告知这些词有 170 年的历史，出自一个不懂外文的中国人。这件事有真实的教育意义：语言是思想的载体，选对一个词，等于替后来所有人降低一辈子的理解成本。

第四，讲清跨代的接续。 祖暅去解刘徽留下的存疑，李善兰去补徐光启停下的译笔。这种"接得上"的传承，比个人天才更值得讲。

一句话总结

在别人文本上做工作，也能做出奠基性的东西——前提是追问的不是字句，是道理。

附：本文涉及的史实出处

• 刘徽：《九章算术注》成于魏景元四年（263 年）；割圆术得 157/50 与 3927/1250；"敢下阙疑，以待能言者"；"析理以辞，解体用图"
• 祖冲之：约率 22/7、密率 355/113、小数七位；祖暅"幂势既同，则积不容异"；牟合方盖问题源自刘徽存疑
• 徐光启：与利玛窦合译《几何原本》前六卷，1607 年刊刻；"几何"一词的定名；后九卷 1857 年由李善兰、伟烈亚力补译，1865 年曾国藩资助出全本
• 李善兰：与伟烈亚力合译《代数学》《代微积拾级》；"微积分""代数""函数"等术语的定名；李善兰恒等式