衰分术：按比例分配的古老算法

原文

今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问：各几何？

答曰：答曰：北乡遣一百三十五人、一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七。 西乡遣一百一十二人、一万二千一百七十五分人之四千四。 南乡遣一百二十九人、一万二千一百七十五分人之八千七百九。

术曰：各置算数为列衰，副并为法，以所发傜人数乘未并者，各自为实，实如法得一人。

白话翻译

现在北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人。欲以算数多少衰出之，。答案是：答曰：北乡遣一百三十五人、一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七。 西乡遣一百一十二人、一万二千一百七十五分人之四千四。 南乡遣一百二十九人、一万二千一百七十五分人之八千七百九。。本题使用衰分术中的衰分术应用方法求解。

示意图

数学解读

一、问题结构分析

衰分章共20题，核心算法是衰分术——按比例分配。本题属于其中的衰分术应用类型。

二、算法原理

衰分术的基本公式：

对于爵位分配，比例因子通常取爵位等级（大夫5、不更4、簪裹3、上造2、公士1）。

三、特殊情况处理

等比数列分配（如第88题女子善织）：

• 五日织布总量，每日量成倍增长
• 比例为：1 : 2 : 4 : 8 : 16
• 总和为31份

返衰术（如第92题高爵出少）：

• 与普通衰分相反，爵位越高，分摊越少
• 算法：先列衰，再"返衰"（取倒数）

四、古今对照

现代概率论中的加权平均与衰分术思想相通，但古人更早将其应用于社会分配问题。

五、历史意义

衰分章反映了汉代社会的等级制度和赋税制度，数学算法与社会结构紧密结合。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第三册：第九章"统计"中的加权平均
• 人教A版选择性必修第二册：第四章"数列"中的等比数列
• 初中数学：比例分配问题

高考考法： 衰分术与等比数列结合是高考数学文化题的常见考点。

思考与拓展

问题1（基础）： 若五人的爵位比例变为5:4:3:2:1，但分配原则改为"爵位越高分摊越少"，如何计算？

问题2（进阶）： 第88题女子善织问题中，若改为"前五日织五尺，后五日织五尺"，答案有何变化？

问题3（拓展）： 查阅资料，了解中国古代"均输"制度与衰分术的关系。

一句话总结

衰分术是《九章算术》比例分配的核心算法，从简单的按资分摊到复杂的爵位分配，展现了古人处理社会公平问题的数学智慧。