第13讲 恒成立与能成立问题——参数范围的精确刻画

两个逻辑量词

这是整个专题最重要的概念区分：

恒成立（∀）

对任意 $x \in D$，$f(x) \ge g(x)$ 恒成立

意思：在定义域 $D$ 内，每一个 $x$ 都满足 $f(x) \ge g(x)$。

等价于：$f(x)$ 的最小值 $\ge g(x)$ 的最大值（或更准确地说，$f(x) - g(x)$ 的最小值 $\ge 0$）。

能成立（∃）

存在 $x_0 \in D$，使得 $f(x_0) \ge g(x_0)$ 成立

意思：在定义域 $D$ 内，至少有一个 $x$ 满足 $f(x) \ge g(x)$。

等价于：$f(x)$ 的最大值 $\ge g(x)$ 的最小值（或 $f(x) - g(x)$ 的最大值 $\ge 0$）。

示意图

解题模板

恒成立问题

1. 构造函数 $h(x) = f(x) - g(x)$
2. 求 $h(x)$ 的最小值 $h_{\min}$
3. 令 $h_{\min} \ge 0$，解出参数的范围

能成立问题

1. 构造函数 $h(x) = f(x) - g(x)$
2. 求 $h(x)$ 的最大值 $h_{\max}$
3. 令 $h_{\max} \ge 0$，解出参数的范围

经典例题

已知 $e^x \ge ax + 1$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

解：构造 $f(x) = e^x - ax - 1$。

$f'(x) = e^x - a$。

• 当 $a \le 0$ 时，$f'(x) > 0$，$f$ 递增，$f(0) = 0$，当 $x < 0$ 时 $f(x) < 0$，不满足。
• 当 $a > 0$ 时，$f'(x) = 0$ 得 $x = \ln a$。极小值 $f(\ln a) = a - a\ln a - 1$。

令 $a - a\ln a - 1 \ge 0$，即 $a(1 - \ln a) \ge 1$。

令 $g(a) = a(1 - \ln a)$，$g'(a) = -\ln a$。$g$ 在 $(0, 1)$ 递增，在 $(1, +\infty)$ 递减。

$g(1) = 1$ 是最大值。所以 $g(a) \ge 1$ 当且仅当 $a = 1$。

答案：$a = 1$。

恒成立 vs 能成立的对比

	恒成立	能成立
量词	对任意 x	存在某个 x₀
关键词	总成立、恒成立、对一切...	有解、能成立、存在...
方法	最小值 ≥ 0	最大值 ≥ 0
难度	通常更难（要求更强）	通常更容易（条件更弱）

混合问题

有时题目同时出现两种量词：

对任意 $x_1 \in D_1$，都存在 $x_2 \in D_2$，使得 $f(x_1) \le g(x_2)$。

这种题的逻辑是：对 $D_1$ 中的每个 $x_1$，都能在 $D_2$ 中找到一个 $x_2$ 满足不等式。

等价于：$f(x_1)$ 的最大值 $\le g(x_2)$ 的最大值。

在高中数学体系里的位置

恒成立与能成立问题是导数综合题的高频考点，通常是压轴题的最后一问。

难点在于正确理解题意（区分 ∀ 和 ∃），然后转化为函数的最值问题。

思考与拓展

1. 已知 $x^2 - 2x + a \ge 0$ 对任意 $x \in [0, 3]$ 恒成立，求 $a$ 的范围。
2. 已知 $e^x - ax \ge 0$ 对任意 $x \ge 0$ 恒成立，求 $a$ 的范围。
3. 已知 $f(x) = x^2 - 2x + a$，若存在 $x_0 \in [0, 2]$ 使 $f(x_0) < 0$，求 $a$ 的范围。
4. 对任意 $x > 0$，都有 $\ln x \le ax$ 成立，求 $a$ 的最小值。

一句话总结

恒成立 → 看最小值；能成立 → 看最大值。搞清楚量词，就搞清楚了一切。