球堆积——往桌上摆球，摆到第几维最密

一、问题是什么

先做两个热身。

在二维平面上摆同样大的圆，怎么摆最省地方？答案是一边一行、每行错开半个身位，蜂窝那样排。这叫六边形排法，是最省位置的排法。1940 年代 Fejes Tóth 证明了它最优。

在三维空间里摆同样大的球呢？答案是每个球周围能贴上 12 个同样大的球，一共 6 层堆起来，密度大约是 0.74048。这是著名的开普勒猜想，1998 年由 Thomas Hales 证明。他证明这个猜想用了计算机辅助验证，后来 Flyspeck 项目又用 HOL Light 和 Isabelle 两个定理证明器把它整个形式化检查了一遍。这是数学史上第一次，一篇几百页的论文被机器逐字确认无误。

三以下都解决了。再往上就开始卡住。

四维空间怎么摆球最密？五维？六维？没有人知道确切的答案。 已经解出的高维只有两个孤岛。2016 年 Maryna Viazovska 解出八维，一周后 Cohn、Kumar、Miller、Radchenko、Viazovska 五个人解出二十四维。除此以外的所有维度，都开着。

所以问题是这样一句话。

在 $d$ 维空间里摆同样大的球，球心之间的最小距离固定为 1，那么球的密度最多能是多少？

这个密度记作 $\Delta_d$，写成公式是 $\Delta_d \le 2^{-(c+o(1))d}$，其中 $c$ 是一个常数。关键在于 $d$ 变大时密度会往零跑，跑多快由 $c$ 决定。

二、它从哪来

这个问题的历史比看起来长，它牵出三个人和一个著名猜想。

开普勒 1611 年就提出了三维那个问题，他猜的是最密排法是面心立方堆。高斯 1773 年在一封写给拉普拉斯的信里提出同样的猜测，并且说这个问题"大概会留到下一次天文纪元之后才能解决"。费耶斯·托特（Fejes Tóth）1940 年代在二维给出了严格证明。

埃德奥斯（Paul Erdős）是关键人物。他在 1940 到 1950 年代把球堆积从三维推广到任意维度，并且不只是问"最密是多少"，而是问一个更本质的问题，维度越高，最优密度会怎么衰减。

这个衰减速度就是公式里的 $c$。埃德奥斯给出了他自己的猜测，$c$ 应该是某个特定的值。这个猜测后来被一个更精确的框架取代。2003 年，Henry Cohn 和 Noam Elkies 提出了一个线性规划方法，可以把 $d$ 维球堆积的密度上界化成一个可以计算的优化问题。

这个方法为什么重要？因为它一举拿下了高维的上界。1978 年 Kabatiansky 和 Levenshtein 证明了这个上界，指数是

$\Delta_d \le 2^{-(0.5990\ldots+o(1))d}$

从那以后，这个 0.5990 的小数点后四位，五十年来没人动过。中间有人改进过前面的常数因子。Cohn 和 Zhao 在 2014 年、Sardari 和 Zargar 在 2024 年都做过。但那只是把 $2^{-0.5990d}$ 前面那个乘数调小了一点，指数本身纹丝不动。

为什么指数这么难动？因为要改进它，就得证明线性规划这个方法本身还能再榨出东西，而 Cohn 和 Elkies 当年只是给出了一个框架，没有证明这个框架的上限在哪儿。框架的天花板在哪里，这本身就是个难题。

三、卡在哪

难点可以拆成两层。

第一层，上界和下界离得很远。 我们知道 $\Delta_d$ 至少是多少（构造出来多少），也知道至多是多少（证不上去多少）。但这两条线通常隔着一道巨大的缝。在中低维度，缝小得能看出轮廓；维度一高，缝宽得没法看。

第二层，线性规划的天花板没人知道。 Cohn–Elkies 方法给出的是一个界，记作 $\mathrm{LP}_d$。这个方法在两个维度上恰好是精确的。八维和二十四维就是靠它解出来的，因为那里的最优密度正好等于这个方法给出的上界。

但"恰好精确"这件事只在个别维度成立。有人猜测，这个方法在高维能达到的最好指数是

$\lim_{d\to\infty}\mathrm{LP}_d^{1/d} = \sqrt{\frac{e}{2\pi}}$

算一下就知道，这意味着

$\Delta_d \le 2^{-(0.6044\ldots+o(1))d}$

注意 $0.6044\ldots$ 比卡了五十年的 $0.5990\ldots$ 大。指数越大，等于说密度掉得越快、上界越紧。 换句话说，如果这个猜测成立，就能把上界往前推一截。

但这个猜测一直只被"猜"出来，没有任何证明。原因是它的证明需要同时用到两件很难同时用起来的东西。一是模形式这套很特殊的数论工具（2016 年解决八维时用的正是它），二是一个能控制"符号不确定性"的精细估计。那部分要处理函数在某些点取正、某些点取负的随机性。这两条路各自都走得动，但要把它们严丝合缝地拼到一起，需要一种目前没人展示过的技巧。

卡在哪？卡在把一个看起来应该成立的猜测变成确实成立的证明上。而这一步，机器迈过去了。

四、现在到哪了

2026 年 9 月，OpenAI 公布了一批 AI 产出的数学结果，第一项就是球堆积。

内部模型 Astra 给出的结果，是把 Cohn–Elkies 线性规划的最优渐近率精确算了出来。

$\lim_{d\to\infty}\mathrm{LP}_d^{1/d} = \sqrt{\frac{e}{2\pi}}$

这个式子的意思是，Cohn 和 Elkies 当年搭的那个框架，天花板就在这里，一分不多一分不少。 前面那个悬了二十多年的猜测（Afkhami-Jeddi、Cohn、Hartman、de Laat、Tajdini 在 2020 年提出的）被证明成立。

于是上界立刻变成

$\Delta_d \le 2^{-(0.6044\ldots+o(1))d}$

卡了五十年的那个 0.5990，动到了。

这是结果的第一层意义。它把一个悬案变成了定理，而且是最干净的那种形式。这个方法的极限就是 $\sqrt{e/2\pi}$，到此为止。

第二层意义更微妙。证明了天花板，也就同时证明了这条路的天花板。 以后想再改进高维球堆积的上界，就不能只靠线性规划，得换框架。这在数学里往往是更重要的事。一个方法被证明走到了尽头，逼着人去找下一条路。

值得说明的是，这个结果不等于球堆积问题被解决了。八维和二十四维仍然是仅有的两个解出的维度，所有其他维度依然开着。变化在于，人们第一次知道了上界这条线的确切位置，而下界这条线（实际能摆出多密的球）还差得远。

同批公布的还有另外九项结果，涵盖编码理论、群论、算术电路复杂度、量子复杂性、格密码学和极值组合理论。这些成果的一个共同做法是，模型提出证明，人类整理成论文，然后模型再把证明形式化成 Lean 证书。那是一种机器可检查的证明格式，逻辑漏洞无法溜过去。总共十项成果，用掉的 token 按 Sol API 的费率折算，大约值 2000 美元。

这个专题怎么走

这是「AI 攻克的数学难题」的第二讲。第一讲讲的是埃德奥斯的单位距离猜想，一个几何问题，答案是"猜想被证伪了"。这一讲换了一个领域，是组合数学和离散几何，答案是"上界的天花板被找到了"。

往后几讲会继续往两个方向走。一个进纯数学（群论里的非 sofic 群、Ramsey 数），一个进物理（胶子振幅、引力子），还有一个转向评估，讲当 AI 写出证明时人怎么检查它。

给学生的入口建议。这一讲里最难的只有最后那个 $\sqrt{e/2\pi}$ 和 $2^{-0.6044d}$ 这两个式子。如果读到这里觉得吃力，完全可以先跳过它们，只看第一节的摆球直觉和第三节里上界天花板这个说法。真正要带走的是一句话。数学里的最密问题，答案是渐近的，而渐近的常数比答案本身更难定。

思考与拓展

1. 在一条直线上摆球（也就是一维空间），最密是多少？提示。答案是 1，因为球挨着球不留缝。

2. 二维平面上摆圆，六边形排法的密度是多少？ 提示。先算一个正六边形里能圈住多少个半径为 1 的圆，再算这个正六边形自己的面积，密度就是"圆的面积总和"除以"六边形面积"。

3. 开普勒猜想说的是三维。 为什么"一个球周围能贴 12 个同样大的球"这个说法不足以证明密度最优？提示。局部最优不等于整体最优。你能举出一个例子，说明"每个球邻居最多"并不意味着"总体最省地方"吗？想想半径不等的球混着摆。

4. 回到教材。 高中课本里学过的"抽屉原理"（也叫鸽巢原理）说的是什么？它和这一讲的 Cohn–Elkies 方法（一个能被计算的上界框架）有什么相似之处？都是把一个看起来只能靠灵感的问题，变成了一个可以系统搜索的有限问题？

一句话总结

这一讲讲的球堆积问题，人类的答案是每个维度单独算，而高维的答案是密度按某个指数往零掉。2026 年之前没人知道那个指数是多少，现在知道了，而且知道它同时也是这一整条技术路线能走到的尽头。

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原始报道 OpenAI《Ten advances in mathematics and theoretical computer science》，2026 年 8 月 1 日。

延伸阅读 Seewoo Lee《Understanding Astra's result on high-dimensional sphere packing — Part 1: Digestion》，2026 年 9 月 12 日（对结果的详细拆解）。