单位距离问题——八十年前的老问题，被机器推进了一步

一、问题是什么

平面上放 n 个点，其中任意两点之间的距离都不小于 1。问一句，这些点两两之间，距离恰好等于 1 的点对，最多能有多少个？

把这个最大值记作 $u(n)$。

先看几个容易想到的情形。点摆成一条直线，间距 1，那么相邻两点之间的距离是 1，距离为 1 的点对有 $n-1$ 个。点摆成方格网，比如 3×3 的九宫格，行列间距都是 1，那么水平方向有 6 对、竖直方向有 6 对，一共 12 对。都还算少。

真正厉害的是把点排成一种特殊的形状，让更多的点对之间距离恰好为 1。1946 年，匈牙利数学家保罗·埃德奥斯（Paul Erdős）和他的同事发现，用正六边形排点可以做到很多。埃德奥斯随即提出一个猜想，说这类"六边形加中心"的构造基本就是最优的。

这个猜想在数学界站了八十年。

二、它从哪来

埃德奥斯 1946 年提出这个问题时，他三十一岁。那一年他在普林斯顿，是全世界最忙的数学家之一。他一生写了一千五百多篇论文，合作者超过五百人，人们开玩笑叫他"数学界的蜘蛛侠"。埃德奥斯喜欢提悬赏问题，谁解决了就给钱。

单位距离问题是他最喜欢的问题之一，2005 年出版的《离散几何研究问题》（Brass、Moser、Pach 著）里称它"可能是组合几何里最出名、也最容易讲清楚的问题"。普林斯顿的组合几何学家 Noga Alon 说它是"埃德奥斯最喜欢的问题之一"。

埃德奥斯给这个问题设了奖金。一块 500 美元的支票，附言写着"埃德奥斯悬赏，单位距离问题"。

为什么这个问题"容易讲清楚"却"极难解决"？因为它站在几个方向的交叉口上。表面上是几何问题，往下走是数论，再往下是代数数论。它问的是一个极值，而且极值要精确到常数级别，差一个 $n$ 的系数都不算解决。八十年来，人们只知道 $u(n)$ 大概是 $n$ 的某个倍数次的平方根量级，但最优常数是多少，没人知道。

埃德奥斯本人一辈子没能解决它。2013 年他去世时，这个问题还开着。

三、卡在哪

问题的两头都有进展，中间那截是空的。

下界（造得出来多少） 从 1946 年埃德奥斯提出问题起，最好的构造一直是方格网。放大后的方格网能给出大约 $n^{1+C/\log\log n}$ 对距离为 1 的点对，$C$ 是常数。这个指数里的 $C/\log\log n$ 项会随着 $n$ 增大慢慢趋近于 0，所以方格网的增长速度只是比线性快一点点。八十年来，没有第二种构造能显著超过它。

上界（最多能有多少） 1984 年，Spencer、Szemerédi 与 Trotter 证明了 $u(n) \leq O(n^{4/3})$。这个界到今天基本没被改进过。

埃德奥斯猜想说的是，上下界最终会会合拢到 $n^{1+o(1)}$。这个猜想很朴素，翻译成白话就是"方格网已经足够好了，别指望有更好的构造"。

为什么八十年来没人能证明它？埃德奥斯自己的下界来自高斯整数。高斯整数是形如 $a+bi$ 的数（$a$、$b$ 是整数，$i$ 是 $\sqrt{-1}$），它像普通整数一样有唯一分解性质。埃德奥斯正是用这套代数数论的工具，给出了精巧的构造。这件事也说明，这个问题的正确答案深深埋在一套很特殊的数论结构里，靠画图或者凑巧是解决不了的。要证埃德奥斯猜想，你得把高斯整数那套推广到更一般的数域，然后证明推广后的构造给不出更好的结果。这条路要走的数论非常深。

四、现在到哪了

2026 年 5 月，OpenAI 公布了一份 AI 生成的证明，证伪了埃德奥斯猜想。

它构造出一族新的点配置，对无穷多个 $n$，能给出至少 $n^{1+\delta}$ 对单位距离，其中 $\delta$ 是一个固定正数。原始的 AI 证明没有给出 $\delta$ 的具体数值，后来普林斯顿的数学教授 Will Sawin 证明可以取 $\delta = 0.014$。

这个 0.014 意味着什么。埃德奥斯猜想的答案是 $n^{1+o(1)}$，指数上那个修正项趋于 0。新结果给出的是 $n^{1.014}$，指数上挂着一个不再趋于零的常数。虽然 $1.014$ 离 $1.333$ 还有距离，但它证明了埃德奥斯猜想的方向是错的。方格网确实不是最优的。

方法上的意外更大。埃德奥斯当年用的是高斯整数，新证明用上了代数数论里更复杂的推广，其中包括无穷类域塔和 Golod-Shafarevich 理论。这些工具在数论界是熟面孔，但它们能对欧氏平面上的几何问题产生作用，这件事让所有看到的人都没想到。

Fields 奖得主 Tim Gowers 评价说，如果这是人写的论文投给《数学年报》，他会毫不犹豫地建议接收，而且"之前没有任何 AI 生成的证明接近过这个水平"。他还注意到一个细节，模型的思维链里大部分时间在尝试构造反例，而不是试图证明猜想。Arul Shankar 说自己也曾经试过这个问题，没做出来。他形容那个构造，"即使你已经知道大概在做什么，要看透它依然很费劲，自己上手玩一遍更难"。

证明本身由外部数学家独立核查过。

这件事还有一个容易被忽略的意义。数学家 Gowers 问了一个问题，这个结果有没有教会我们一些关于这个问题的全新东西？ 他给自己的答案是肯定的，因为代数数论和离散几何之间这条意料之外的通道，让人们看到数论构造在这类问题里能做的事比原先设想的多得多。这个结果解决了埃德奥斯猜想，同时打开了一片可以继续探索的地方。

八十年。三位菲尔兹奖得主级别的数学家公开表示没见过这样的证明。

这个专题怎么走

这个专题不讲解题技巧，讲的是问题。每一讲挑一个人类挂了几十年悬赏的老问题，看它长什么样、从哪来、卡在哪、现在到哪了。

十讲里有三讲是数学（单位距离问题、纳维-斯托克斯、十项数学进展），三讲是物理（胶子振幅、引力子振幅、理论物理新结果），两讲是生物（蛋白质合成、实验室里的反复实验），两讲讲怎么评（FrontierScience 评测、First Proof 挑战）。

看完你会发现一件事。这些问题单看都高不可攀，但每一个的问题陈述都短得惊人。"平面上 n 个点，最多多少对距离为 1"，一句话。"流体的速度会不会在有限时间变成无穷大"，一句话。难的从来不是听懂问题，是走到它的边界。

如果你是高中生，这一讲里的每一个术语（高斯整数、代数数域、类域塔）你都可以先跳过，只看第一节的摆点图和最后一节的曲线。那两样东西不需要任何超出课本的知识，但看完你会知道数学最前沿在忙什么。

思考与拓展

1. 自己在纸上摆点。5×5 的方格网里，距离为 1 的点对有多少对？换成六边形加中心的摆法（7 个点），又是多少对？
2. 埃德奥斯猜想的两种写法 $n^{1+o(1)}$ 和 $n^{1+0.014}$，差别大吗？想想当 $n$ 取到 $10^{100}$ 时，$0.014$ 这个数意味着什么。
3. 高斯整数 $a+bi$ 有一个漂亮的性质，它的模长平方 $a^2+b^2$ 也是整数。试着找一个整数 $m$，使它能表示成两个整数的平方和（提示，$5 = 1^2 + 2^2$，$13 = 2^2 + 3^2$，$17 = 1^2 + 4^2$）。
4. 埃德奥斯悬赏 500 美元设于 1946 年。查阅资料，看看他一生一共设过多少个这样的悬赏问题，总金额估计多少。（提示，他会给同一个问题多次悬赏，也常在问题被部分解决时追加奖金。）

一句话总结

数学最前沿的题目，说出来只有一句话；难的是走到它的边界，而机器已经开始替我们走。

原始报道 An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry，OpenAI，2026 年 5 月 20 日。

延伸阅读 OpenAI《Ten advances in mathematics and theoretical computer science》，2026 年 8 月 1 日。