椭圆上的距离与弦长最值

【答案】(1) $\dfrac{12\sqrt{11}}{11}$ (2) $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ ． 【分析】（1）设 $H(2\sqrt{3}\cos\theta,\sin\theta)$ 是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出 $|PH|^{2}$ ，再根据二次函数的性质即可求出 （2） 设直线 $AB:y=kx+\dfrac{1}{2}$ 与椭圆方程联立可得 $x_{1}x_{2},x_{1}+x_{2}$ ，再将直线 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$ 方程与 $PA、PB$ 的方程分别联立，可解得点 $C,D$ 的坐标，再根据两点间的距离公式求出 $\left|CD\right|$ ，最后代入化简可得 $\left|CD\right|=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}⋅\dfrac{\sqrt{16k^{2}+1}}{\left|3k+1\right|}$ ，由柯西不等式即可求出最小值． 【详解】（1）设 $H(2\sqrt{3}\cos\theta,\sin\theta)$ 是椭圆上任意一点, $P(0,1)$ , $|PH|^{2}=12\cos^{2}\theta+(1-\sin\theta)^{2}=13-11\sin^{2}\theta-2\sin\theta=-11\left(\sin\theta+\dfrac{1}{11}\right)^{2}+\dfrac{144}{11}\le\dfrac{144}{11}$ ，当且仅当 $\sin\theta=-\dfrac{1}{11}$ 时取等号，故 $\left|PH\right|$ 的最大值是 $\dfrac{12\sqrt{11}}{11}$ （2） 设直线 $AB:y=kx+\dfrac{1}{2}$ ,直线 $AB$ 方程与椭圆 $\dfrac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ 联立,可得 $\left(k^{2}+\dfrac{1}{12}\right)x^{2}+kx-\dfrac{3}{4}=0$ ,设 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ ，所以 $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-\dfrac{k}{k^{2}+\dfrac{1}{12}} \ x_{1}x_{2}=-\dfrac{3}{4\left(k^{2}+\dfrac{1}{12}\right)}\end{matrix}\right.$ ， 因为直线 $PA:y=\dfrac{y_{1}-1}{x_{1}}x+1$ 与直线 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$ 交于 $C$ , 则 $x_{C}=\dfrac{4x_{1}}{x_{1}+2y_{1}-2}=\dfrac{4x_{1}}{(2k+1)x_{1}-1}$ ,同理可得, $x_{D}=\dfrac{4x_{2}}{x_{2}+2y_{2}-2}=\dfrac{4x_{2}}{(2k+1)x_{2}-1}$ .则 $|CD|=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}\left|x_{C}-x_{D}\right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left|\dfrac{4x_{1}}{(2k+1)x_{1}-1}-\dfrac{4x_{2}}{(2k+1)x_{2}-1}\right|$ $=2\sqrt{5}\left|\dfrac{x_{1}-x_{2}}{\left[(2k+1)x_{1}-1\right]\left[(2k+1)x_{2}-1\right]}\right|=2\sqrt{5}\left|\dfrac{x_{1}-x_{2}}{(2k+1)^{2}x_{1}x_{2}-(2k+1)\left(x_{1}+x_{2}\right)+1}\right|$ $=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}⋅\dfrac{\sqrt{16k^{2}+1}}{\left|3k+1\right|}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}⋅\dfrac{\sqrt{16k^{2}+1}\sqrt{\dfrac{9}{16}+1}}{\left|3k+1\right|}\ge\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\times\dfrac{\sqrt{\left(4k\times\dfrac{3}{4}+1\times1\right)^{2}}}{\left|3k+1\right|}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ ， 当且仅当 $k=\dfrac{3}{16}$ 时取等号，故 $\left|CD\right|$ 的最小值为 $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ . 【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．