等差数列与三项等比

答案：（1） $S_{n} =\frac{3n^{2} -5n} {2}(n\in\mathbb{N}^{*} )$ （2） $1 < d\le 2$

分析

（1）利用等差数列通项公式及前 $n$项和公式化简条件，求出$d$，再求$S_{n}$ ； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求 $d$ 的范围.

第(1)问

因为 $S_{4} -2a_{2} a_{3} +6=0,a_{1} =-1$ ， 所以 $-4+6d-2\left ( {-1+d} \right )\left ( {-1+2d} \right )+6=0$ ， 所以 $d^{2} -3d=0$，又$d>1$ ， 所以 $d=3$ ， 所以 $a_{n} =3n-4$ ， 所以 $S_{n} =\frac{\left ( {a_{1} +a_{n}} \right )n} {2}=\frac{3n^{2} -5n} {2}$ ，

第(2)问

因为 $a_{n} +c_{n}$，$a_{n+1} +4c_{n}$，$a_{n+2} +15c_{n}$ 成等比数列， 所以 $\left ( {a_{n+1} +4c_{n}} \right )^{2} =\left ( {a_{n} +c_{n}} \right )\left ( {a_{n+2} +15c_{n}} \right )$ ， $\left ( {nd-1+4c_{n}} \right )^{2} =\left ( {-1+nd-d+c_{n}} \right )\left ( {-1+nd+d+15c_{n}} \right )$ ， $c_{n}^{2}+(14d-8nd+8)c_{n} +d^{2} =0$ ， 由已知方程 $c_{n}^{2}+(14d-8nd+8)c_{n} +d^{2} =0$ 的判别式大于等于0， 所以 $\Delta =\left ( {14d-8nd+8} \right )^{2} -4d^{2} \ge 0$ ， 所以 $\left ( {16d-8nd+8} \right )\left ( {12d-8nd+8} \right )\ge 0$对于任意的$n\in\mathbb{N}^{*}$ 恒成立， 所以 $\left[ \left ( {n-2} \right )d-1 \right]\left[ \left ( {2n-3} \right )d-2 \right]\ge 0$对于任意的$n\in\mathbb{N}^{*}$ 恒成立， 当 $n=1$时，$\left[ \left ( {n-2} \right )d-1 \right]\left[ \left ( {2n-3} \right )d-2 \right]=\left ( {d+1} \right )\left ( {d+2} \right )\ge 0$ ， 当 $n=2$时，由$\left ( {2d-2d-1} \right )\left ( {4d-3d-2} \right )\ge 0$，可得$d\le 2$ 当 $n\ge 3$时，$\left[ \left ( {n-2} \right )d-1 \right]\left[ \left ( {2n-3} \right )d-2 \right]>(n-3)(2n-5)\ge 0$ ， 又 $d>1$ 所以 $1 < d\le 2$