由周期与最低点求三角函数解析式

分析：由周期求 $\omega$，由最低点求 $A$，再代入最低点坐标解 $\varphi$。

第一步：求 $\omega$

最小正周期

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$$

所以

$$\omega=2$$

第二步：求 $A$

正弦函数 $A\sin(\omega x+\varphi)$ 的最大值为 $A$，最小值为 $-A$。

已知最低点纵坐标为 $-2$，故

$$-A=-2\quad\Rightarrow\quad A=2$$

第三步：求 $\varphi$

最低点处有

$$\omega x+\varphi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbf{Z}$$

代入 $\omega=2$，$x=\dfrac{2\pi}{3}$：

$$2\times\frac{2\pi}{3}+\varphi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$$ $$\frac{4\pi}{3}+\varphi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$$ $$\varphi=\frac{3\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}+2k\pi =\frac{9\pi-8\pi}{6}+2k\pi =\frac{\pi}{6}+2k\pi$$

取 $k=0$，$\varphi=\dfrac{\pi}{6}$，满足 $|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$ ✓

验证：

$$f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\sin\left(2\times\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right) =2\sin\left(\frac{4\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)$$ $$=2\sin\left(\frac{8\pi+\pi}{6}\right) =2\sin\frac{3\pi}{2}=2\times(-1)=-2$$

确为最低点 ✓，且周期为 $\pi$ ✓。

答案

$$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$

关键：最低点对应相位 $\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$（不是 $\dfrac{\pi}{2}$，那是最高点）。