正八边形上的向量模平方和

答案：$[12+2\sqrt{2},16]$

分析

根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， $A_{7} A_{3}$所在直线为$x$轴，$A_{5} A_{1}$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设$P(x,y)$，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到$\overset\rightarrow {PA}_{1}^{2}+\overset\rightarrow {PA}_{2}^{2}+\cdots +\overset\rightarrow {PA}_{8}^{2}=8\left ( {x^{2} +y^{2}} \right )+8$，然后利用$cos22.5^{\circ} \le \|OP\|\le 1$ 即可解出．

详解

以圆心为原点， $A_{7} A_{3}$所在直线为$x$轴，$A_{5} A_{1}$所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则 $A_{1} (0,1),A_{2} \left ( {\frac{\sqrt{2}} {2},\frac{\sqrt{2}} {2}} \right ),A_{3} (1,0),A_{4} \left ( {\frac{\sqrt{2}} {2},-\frac{\sqrt{2}} {2}} \right ),A_{5} (0,-1),A_{6} \left ( {-\frac{\sqrt{2}} {2},-\frac{\sqrt{2}} {2}} \right ),A_{7} (-1,0)$,$A_{8} \left ( {-\frac{\sqrt{2}} {2},\frac{\sqrt{2}} {2}} \right )$，设$P(x,y)$,于是$\overset\rightarrow {PA}_{1}^{2}+\overset\rightarrow {PA}_{2}^{2}+\cdots +\overset\rightarrow {PA}_{8}^{2}=8\left ( {x^{2} +y^{2}} \right )+8$ ， 因为 $cos22.5^{\circ} \le \|OP\|\le 1$，所以$\frac{1+cos45^{\circ}} {2}\le x^{2} +y^{2} \le 1$，故$\overset\rightarrow {PA}_{1}^{2}+\overset\rightarrow {PA}_{2}^{2}+\cdots +\overset\rightarrow {PA}_{8}^{2}$的取值范围是$[12+2\sqrt{2},16]$ . 故答案为： $[12+2\sqrt{2},16]$ ．