两角和的正切公式

分析：用两角和的正切公式反推 $\tan\alpha$。

第一步：拆角

$$\alpha=(\alpha+\beta)-\beta$$

所以

$$\tan\alpha=\tan\big[(\alpha+\beta)-\beta\big] =\frac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\beta}{1+\tan(\alpha+\beta)\tan\beta}$$

第二步：代入已知

已知 $\tan(\alpha+\beta)=3$，$\tan\beta=\dfrac12$：

$$\tan\alpha=\frac{3-\dfrac12}{1+3\times\dfrac12} =\frac{\dfrac52}{\dfrac52}=1$$

第三步：检验角的范围

$\alpha=\arctan 1=45^\circ$，$\beta=\arctan\dfrac12\approx26.6^\circ$，则

$$\alpha+\beta\approx71.6^\circ$$

验证 $\tan(\alpha+\beta)=\tan 71.6^\circ\approx3$ ✓，且 $\alpha$、$\beta$、$\alpha+\beta$ 均为锐角，符合题意。

答案

$$\tan\alpha=1$$

公式回顾：$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$。本题的核心思路是"凑角"——把要求的角写成两个已知角的差。