∫π每天一道数学题

同角三角函数的基本关系

∿ 三角函数基础版

已知 tan⁡α=2\tan\alpha=2，求 sin⁡2α+3sin⁡αcos⁡αcos⁡2α−sin⁡2α\dfrac{\sin^2\alpha+3\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} 的值。

解析

分析：已知 tan⁡α=2\tan\alpha=2，要求一个齐次式的值。把式子除以 cos⁡2α\cos^2\alpha 即可全部化成 tan⁡α\tan\alpha。

第一步：观察结构

sin⁡2α+3sin⁡αcos⁡αcos⁡2α−sin⁡2α\frac{\sin^2\alpha+3\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}

分子是二次，分母也是二次，是齐次式。

第二步：同除 cos⁡2α\cos^2\alpha

分子：

sin⁡2αcos⁡2α+3sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=tan⁡2α+3tan⁡α\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{3\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha} =\tan^2\alpha+3\tan\alpha

分母：

cos⁡2αcos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α=1−tan⁡2α\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =1-\tan^2\alpha

所以原式

=tan⁡2α+3tan⁡α1−tan⁡2α=\frac{\tan^2\alpha+3\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

第三步：代入 tan⁡α=2\tan\alpha=2

分子：

22+3×2=4+6=102^2+3\times2=4+6=10

分母：

1−22=1−4=−31-2^2=1-4=-3 原式=10−3=−103\text{原式}=\frac{10}{-3}=-\frac{10}{3}

验证：取 α=arctan⁡2\alpha=\arctan 2，直接代入原式计算，结果同为 −103-\dfrac{10}{3}。

答案

−103-\frac{10}{3}

方法：关于 sin⁡α\sin\alpha、cos⁡α\cos\alpha 的齐次式，同除 cos⁡2α\cos^2\alpha（或 cos⁡α\cos\alpha）就能化成正切，这是处理"已知 tan⁡α\tan\alpha 求值"的标准思路。