周期函数的图象与平移

分析：周期函数的核心是 $f(x+2)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立。要求 $[1,3]$ 上的解析式，就把该区间平移若干个周期，移回到已知的 $[-1,1]$ 上。

第(1)问

把 $[1,3]$ 平移回 $[-1,1]$。

设 $x\in[1,3]$，则 $x-2\in[-1,1]$，落在已知区间内。由周期性

$$f(x+2)=f(x)$$

把 $x$ 换成 $x-2$：

$$f(x)=f(x-2)$$

而 $x-2\in[-1,1]$，可以直接代入已知解析式 $f(t)=1-|t|$（令 $t=x-2$）：

$$f(x-2)=1-|x-2|$$

所以当 $x\in[1,3]$ 时

$$f(x)=1-|x-2|$$

验证几个点：

• $x=1$：$f(1)=1-|1-2|=1-1=0$。而由 $[-1,1]$ 上的解析式 $f(-1)=1-|-1|=0$，且 $f(1)=f(-1)$ ✓
• $x=2$：$f(2)=1-|2-2|=1$。而 $f(0)=1$，且 $f(2)=f(0)$ ✓
• $x=3$：$f(3)=1-|3-2|=0$。而 $f(1)=0$，且 $f(3)=f(1)$ ✓

三个关键点全部吻合。

第(2)问

先求 $f(x+1)$ 的解析式。

$x+1$ 落在哪个区间？当 $x\in[-2,0]$ 时，$x+1\in[-1,1]$，于是 $f(x+1)=1-|x+1|$。

由周期性可验证 $f(x+1)$ 仍是最小正周期为 $2$ 的函数，它在 $[-2,0]$ 上为 $1-|x+1|$，并向两端周期延拓。

图象特征：

原函数 $f(x)$ 的最高点在 $x=0,\pm2,\pm4$（偶数点），最低点在 $x=\pm1,\pm3$（奇数点）。

而 $f(x+1)$ 的最高点移到 $x=-1,1,3$（奇数点），最低点移到 $x=0,\pm2$（偶数点）——恰好互换。

变换说法：

$$f(x+1)$$

相当於把 $f(x)$ 图象上的每个点 $P(x,y)$ 移到 $P'(x-1,y)$。

所以 $y=f(x+1)$ 的图象可由 $y=f(x)$ 的图象向左平移 1 个单位长度得到。

注意别和纵向压缩混淆：这里是 $x$ 被换成 $x+1$（括号内加减，属于横向平移），不是 $2f(x)$ 或 $f(x)-1$ 那种纵向变化。

答案

（1）$x\in[1,3]$ 时，$f(x)=1-|x-2|$；

（2）$y=f(x+1)$ 的图象由 $y=f(x)$ 的图象向左平移 1 个单位长度得到，其最高点落在原函数最低点的位置（奇数点），两者互为"错位"。

方法要点：处理周期函数的基本思路是"把目标区间平移回已知区间"，平移量取周期的整数倍；而 $f(x+a)$ 的图象变换永远是左右平移，方向是"左加右减"。