导数综合题：含参单调性与零点问题

解析

$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x - x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$。

$f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x - 1$

令 $t=e^x > 0$，则 $g(t)=f'(x)=2at^2+(a-2)t-1$。

（1）讨论单调性：

情形一：$a=0$。

$f'(x)=-2e^x - 1 < 0$，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。

情形二：$a \neq 0$。

$g(t)=2at^2+(a-2)t-1$，$\Delta=(a-2)^2+8a=a^2+4a+4=(a+2)^2 \geqslant 0$。

$g(t)=0$ 的根为 $t=\dfrac{-(a-2) \pm \sqrt{(a+2)^2}}{4a} = \dfrac{-(a-2) \pm |a+2|}{4a}$。

当 $a>0$ 时：$t_1=\dfrac{-a+2-a-2}{4a}=\dfrac{-1}{2a}<0$（舍去），$t_2=\dfrac{-a+2+a+2}{4a}=\dfrac{1}{a}>0$。

故 $f'(x)>0$ 在 $e^x > \dfrac{1}{a}$ 即 $x > -\ln a$ 时成立；$f'(x)<0$ 在 $x < -\ln a$ 时成立。

$f(x)$ 在 $(-\infty,-\ln a)$ 上单调递减，在 $(-\ln a,+\infty)$ 上单调递增。

当 $a<0$ 时：$t_1=\dfrac{-a+2+a+2}{4a}=\dfrac{1}{a}<0$（舍去），$t_2=\dfrac{-a+2-(-a-2)}{4a}=\dfrac{-1}{2a}>0$。

由于二次项系数 $2a<0$，故 $g(t)<0$ 在 $t > \dfrac{-1}{2a}$ 时恒成立，即 $f'(x)<0$ 在 $e^x > \dfrac{-1}{2a}$ 即 $x > \ln\dfrac{-1}{2a}$ 时恒成立。

但在 $0 < t < \dfrac{-1}{2a}$ 时，$g(t)>0$，即 $f'(x)>0$ 在 $x < \ln\dfrac{-1}{2a}$ 时成立。

$f(x)$ 在 $(-\infty, \ln\dfrac{-1}{2a})$ 上单调递增，在 $(\ln\dfrac{-1}{2a},+\infty)$ 上单调递减。

（2）求 $a$ 的取值范围使 $f(x)$ 有两个零点：

由（1），$f(x)$ 有两个零点需要 $f(x)$ 有极大值且极大值大于零。

当 $a \leqslant 0$ 时： $f(x)$ 先增后减（$a<0$）或单调递减（$a=0$），至多一个零点，不符合。

当 $a > 0$ 时： $f(x)$ 在 $x_0=-\ln a$ 处取最小值，先减后增。

需要 $f(x_0) < 0$ 且 $\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$（自动满足），$\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$（自动满足）。

$f(x_0) = a \cdot \dfrac{1}{a^2} + (a-2) \cdot \dfrac{1}{a} + \ln a = \dfrac{1}{a} + 1 - \dfrac{2}{a} + \ln a = \ln a + 1 - \dfrac{1}{a}$

令 $h(a)=\ln a + 1 - \dfrac{1}{a}$，则 $h'(a)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{a+1}{a^2}>0$（$a>0$）。

$h(1)=0$，故 $a>1$ 时 $h(a)>0$ 即 $f(x_0)>0$，$0<a<1$ 时 $f(x_0)<0$，$a=1$ 时 $f(x_0)=0$（一个零点）。

当 $0 < a < 1$ 时，$f(x_0)<0$ 且两端趋于 $+\infty$，故 $f(x)$ 恰有两个零点。

还需验证： $a \leqslant 0$ 不可能有两个零点（前述分析），$a=1$ 只有一个零点，$a>1$ 时 $f(x_0)>0$ 无零点。

答案

（1）当 $a \leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减（$a=0$）或在 $(-\infty,\ln\dfrac{-1}{2a})$ 上增、$(\ln\dfrac{-1}{2a},+\infty)$ 上减（$a<0$）；当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,-\ln a)$ 上减、在 $(-\ln a,+\infty)$ 上增。

（2）$a$ 的取值范围为 $(0,1)$。