二次函数复合的零点

分析：$g(x)$ 是把 $f(x)$ 平方后取负、再加 2。零点即 $g(x)=0$ 的解。

（1）求解析式

$$f(x)=-x^2-3x-2$$ $$g(x)=2-[f(x)]^2=2-(-x^2-3x-2)^2$$

即

$$g(x)=2-(x^2+3x+2)^2$$

（2）图象特征

设 $u=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$，则 $g(x)=2-u^2$。

$u$ 是开口向上的抛物线，配方得

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$

所以 $u$ 的最小值是 $-\dfrac{1}{4}$，取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right)$。

于是 $g(x)=2-u^2\le 2$，图象恒在直线 $y=2$ 下方；当 $u=\pm\sqrt2$ 时 $g(x)=0$，即图象与 $x$ 轴的交点。

（3）求零点（精确到 0.1）

$$g(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2+3x+2)^2=2$$

即

$$x^2+3x+2=\sqrt2\quad\text{或}\quad x^2+3x+2=-\sqrt2$$

先判断哪个方程可能有解。 由上面的分析，$x^2+3x+2\ge -\dfrac{1}{4}$，而 $-\sqrt2 \approx -1.414 < -\dfrac{1}{4}$，所以

$$x^2+3x+2=-\sqrt2\quad\text{无解}$$

只需解

$$x^2+3x+2=\sqrt2$$

整理成

$$x^2+3x+(2-\sqrt2)=0$$

判别式

$$\Delta=9-4(2-\sqrt2)=1+4\sqrt2\approx 6.657$$ $$\sqrt{\Delta}=\sqrt{1+4\sqrt2}\approx 2.5801$$ $$x=\frac{-3\pm 2.5801}{2}$$ $$x_1=\frac{-3+2.5801}{2}\approx -0.2099\approx -0.2$$ $$x_2=\frac{-3-2.5801}{2}\approx -2.7900\approx -2.8$$

验证：代入 $x=-0.2$，

$$(-0.2)^2+3(-0.2)+2=0.04-0.6+2=1.44\approx \sqrt2\approx 1.414$$

取 $x=-0.21$ 更精确地有 $g(-0.21)\approx 0$，误差在四舍五入范围内。

答案

（1）$g(x)=2-(x^2+3x+2)^2$；

（2）图象关于直线 $x=-\dfrac{3}{2}$ 对称，在 $x=-\dfrac{3}{2}$ 处取最大值 $2$，向下延伸与 $x$ 轴交于两点后趋向 $-\infty$；

（3）零点精确到 $0.1$ 为 $x\approx -2.8$ 和 $x\approx -0.2$。

易错点：解 $(x^2+3x+2)^2=2$ 时不能只顾开方成两个方程，要先看 $x^2+3x+2$ 的取值范围——它的最小值是 $-\dfrac{1}{4}$，取不到 $-\sqrt2$，所以只有一个方程有解。