导数证明题：e^x-ln(x+m)>0

解析

函数 $f(x)=e^x - \ln(x+m)$ 的定义域为 $x > -m$。

$f'(x) = e^x - \dfrac{1}{x+m} = \dfrac{(x+m)e^x - 1}{x+m}$

令 $g(x)=(x+m)e^x - 1$，则 $g'(x) = (x+m+1)e^x$。

由 $x > -m$，得 $x+m+1 > 1 > 0$，故 $g'(x) > 0$，$g(x)$ 在 $(-m,+\infty)$ 上单调递增。

又 $g(-m)=-1 < 0$，$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$，故存在唯一 $x_0 \in (-m,+\infty)$，使得 $g(x_0)=0$，即 $(x_0+m)e^{x_0}=1$。

因此 $f'(x) < 0$ 在 $(-m,x_0)$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(x_0,+\infty)$ 上成立，$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得最小值。

由 $(x_0+m)e^{x_0}=1$，得 $e^{x_0} = \dfrac{1}{x_0+m}$，于是

$f(x_0) = \dfrac{1}{x_0+m} + x_0 = \dfrac{1+x_0(x_0+m)}{x_0+m} = \dfrac{x_0^2+mx_0+1}{x_0+m}$

其中分母 $x_0+m > 0$（因为 $x_0 > -m$）。

分子 $\Delta = m^2 - 4$。当 $m \leqslant 2$ 时，$\Delta \leqslant 0$，故 $x_0^2+mx_0+1 \geqslant 0$。

若 $x_0^2+mx_0+1=0$，则 $m=2$ 且 $x_0=-1$，但 $(x_0+m)e^{x_0}=1 \cdot e^{-1} \neq 1$，矛盾。

因此 $x_0^2+mx_0+1 > 0$，从而 $f(x_0) > 0$。

综上，$f(x) \geqslant f(x_0) > 0$，即 $f(x)>0$ 得证。