∫π每天一道数学题

向量与分段函数

→ 平面向量
  1. f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0f(x)=\begin{cases}1,x>0\\0,x=0\\-1,x<0\end{cases}, a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} 为平面内三个不同单位向量. f(a⃗⋅b⃗)+f(b⃗⋅c⃗)+f(c⃗⋅a⃗)=0f(\vec{a}\cdot\vec{b})+f(\vec{b}\cdot\vec{c})+f(\vec{c}\cdot\vec{a})=0, ∣a⃗+b⃗+c⃗∣|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| 取值范围 ‾\underline{\qquad}.

解析

由题意，f(a⃗⋅b⃗)f(\vec{a}\cdot\vec{b})、f(b⃗⋅c⃗)f(\vec{b}\cdot\vec{c})、f(c⃗⋅a⃗)f(\vec{c}\cdot\vec{a}) 的取值都属于 {−1,0,1}\{-1,0,1\}，三者之和为 00。又因为 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} 是三个不同的单位向量，所以这三个值恰好是 1,0,−11,0,-1，即其中必有一对向量互相垂直。

不妨设 b⃗=(1,0)\vec{b}=(1,0)，c⃗=(0,1)\vec{c}=(0,1)，则 a⃗=(cos⁡θ,sin⁡θ)\vec{a}=(\cos\theta,\sin\theta)，由一对点积为正、一对为负可知 θ∈(3π2,2π)\theta\in(\frac{3\pi}{2},2\pi)。此时 {f(a⃗⋅b⃗),f(b⃗⋅c⃗),f(c⃗⋅a⃗)}={−1,0,1}\{f(\vec{a}\cdot\vec{b}),f(\vec{b}\cdot\vec{c}),f(\vec{c}\cdot\vec{a})\}=\{-1,0,1\}。

而 ∣a⃗+b⃗+c⃗∣=(cos⁡θ+1)2+(sin⁡θ+1)2=3+22sin⁡(θ+π4)|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{(\cos\theta+1)^2+(\sin\theta+1)^2}=\sqrt{3+2\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})}。由 θ∈(3π2,2π)\theta\in(\frac{3\pi}{2},2\pi) 可得 sin⁡(θ+π4)∈(−22,22)\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\in(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})，所以 1<∣a⃗+b⃗+c⃗∣<51<|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|<\sqrt{5}。

答案

∣a⃗+b⃗+c⃗∣|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| 的取值范围为 (1,5)(1,\sqrt{5})。