第1讲 圆周率密率——祖冲之的千年记录

原典

宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。

密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。

——《隋书·律历志》

这段话说的是什么

祖冲之算出了圆周率的精确范围：

$3.1415926 < \pi < 3.1415927$

他还给出了两个近似分数：

• 约率：$\pi \approx \dfrac{22}{7}$（误差约 0.04%）
• 密率：$\pi \approx \dfrac{355}{113}$（误差约 0.000008%）

密率 355/113 是一个极其漂亮的结果——它精确到小数点后六位，而且分母不超过 1000 的分数中，没有比它更接近 $\pi$ 的。

示意图

祖冲之把圆周率锁定在 3.1415926 与 3.1415927 之间，密率 355/113 精确到小数点后六位。

祖冲之怎么算的

祖冲之用的是刘徽的「割圆术」——用正多边形逼近圆。

刘徽算到正 3072 边形，得到 $\pi \approx 3.1416$。祖冲之继续往下算，一直算到正 24576 边形（有学者推测），才得到了七位有效数字。

这是什么概念？正 24576 边形意味着要从正六边形开始，连续翻 12 次倍（$6 \times 2^{12} = 24576$），每次翻倍都要进行开方运算。在算筹时代，这是一个极其庞大的工程。

密率 355/113 是怎么来的

祖冲之不仅算出了 $\pi$ 的精确值，还给出了一个极其方便的近似分数 355/113。

这个分数可以用连分数法得到：

$\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cdots}}}}$

截断到第三项：

$\pi \approx 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + 1}} = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{16}} = 3 + \cfrac{16}{113} = \dfrac{355}{113}$

验证：

$\dfrac{355}{113} = 3.14159292035\cdots$

与 $\pi = 3.1415926535\cdots$ 比较，误差只有 $2.7 \times 10^{-7}$。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：割圆术是用直线逼近曲线、用有限逼近无限的思想，这正是微积分和极限概念的雏形。祖冲之的工作比牛顿、莱布尼茨早了一千多年。

运算练兵场：本题涉及开方运算、连分数展开、误差分析，是对运算能力的综合训练。

综合题常客：圆周率在高考中常与数列、不等式、算法结合（如2014年全国卷算法题），也是数学文化题的热门素材。

思考与拓展

1. 用计算器验证：355 ÷ 113 等于多少？它和 π 的前几位小数有什么不同？

2. 约率 22/7 和密率 355/113，哪个更精确？分别算出它们的相对误差。

3. 查阅资料：祖冲之是怎么解决历法问题的？「大明历」和「岁差」有什么关系？

一句话总结

祖冲之把圆周率精确到小数点后七位，密率 355/113 领先世界近千年——这是中国古代数学最辉煌的成就之一。