第5讲 向量的应用一——用向量解决平面几何问题

从一个朴素的问题开始

证明「平行四边形的对角线互相平分」——你会怎么证？

传统几何法：连接对角线交点，用全等三角形证明……需要画辅助线，需要找对对应边和对应角，每一步都需要一点灵感。

向量法呢？设平行四边形 $ABCD$，只要证明 $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$（其中 $O$ 是对角线交点）就行了。而 $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$，$\overrightarrow{OC}$ 同样可以表示——直接用向量加法和数乘，两步就证完了。

这就是向量法最大的好处：把一个需要「灵光一闪」的几何题，变成一个可以按步骤计算的代数题。

用向量证明平行与垂直

证明平行

两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 平行的充要条件是 $\vec{b} = \lambda \vec{a}$（$\vec{a} \neq \vec{0}$），用坐标表示就是 $x_1 y_2 = x_2 y_1$。

所以证明两条直线平行，只需要证明它们的方向向量共线。

比如，已知 $A(1, 2)$，$B(3, 4)$，$C(2, 3)$，$D(4, 5)$，判断 $AB$ 和 $CD$ 是否平行。

解：$\overrightarrow{AB} = (2, 2)$，$\overrightarrow{CD} = (2, 2)$，显然 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$，所以 $AB \parallel CD$。

甚至因为 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$，我们还能得出 $ABCD$ 是平行四边形——一组对边平行且相等。

证明垂直

两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 垂直的充要条件是 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，即 $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$。

这个判定比斜率法好在哪里？它不要求斜率存在。如果一条直线是竖直的（斜率不存在），传统方法就歇菜了，但向量法照样适用。

示意图

平行四边形对角线向量 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$，中线向量 $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$

用向量求长度和角度

求长度（距离）

已知 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则：

$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \qquad (5.1)$$

这是两点间距离公式，本质就是向量的模。

求夹角

已知 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则夹角的余弦为：

$$\cos\theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} \qquad (5.2)$$

注意这里求的是向量的夹角，范围在 $[0, \pi]$。如果是求两条直线的夹角，通常需要取锐角，所以结果要取绝对值：

$$\cos\theta = \frac{|x_1 x_2 + y_1 y_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

中点公式与定比分点（向量形式）

中点

若 $M$ 是 $AB$ 的中点，则：

$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \qquad (5.3)$$

用坐标表示就是之前学过的中点坐标公式。

定比分点

若点 $P$ 分线段 $AB$ 的比为 $\lambda$（即 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$），则：

$$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}}{1 + \lambda} \qquad (5.4)$$

这个公式用向量来推导非常简洁：因为 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$，所以 $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP})$，移项整理就得到上面的结果。

三角形的重心（向量形式）

三角形 $ABC$ 的重心 $G$ 有一个非常漂亮的向量表达式：

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} \qquad (5.5)$$

也就是说，重心是三个顶点位置向量的平均值。

为什么？ 设 $D$ 是 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}$。重心 $G$ 在中线 $AD$ 上，且 $AG : GD = 2 : 1$，所以：

$$\overrightarrow{OG} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OD}}{3} = \frac{\overrightarrow{OA} + 2 \cdot \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}}{3} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$$

这个公式的好处是不需要建坐标系——任意选一个原点 $O$，三个顶点的向量就确定了重心。

拓展：这个结论可以推广。对于任意多边形，其「质心」（各顶点等质量时的重心）的位置向量就是各顶点位置向量的算术平均。

典型例题

例题：平行四边形对角线的平方和

证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

已知平行四边形 $ABCD$，设 $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$，$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$。

则 $\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$，$\overrightarrow{BD} = \vec{b} - \vec{a}$。

左边：$|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BD}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2$

展开：

$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$$ $$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$$

相加得：$2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$

右边：四条边的平方和 $= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$

左边 = 右边，证毕。

点评：如果用几何法证明，需要构造多个三角形用余弦定理……而向量法，两三行就搞定。

例题：中线长度公式

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，求证：$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$。

设 $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$，$\overrightarrow{AC} = \vec{b}$，则 $\overrightarrow{AD} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$，$\overrightarrow{BD} = \frac{\vec{b} - \vec{a}}{2}$。

$AB^2 + AC^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$

$2(AD^2 + BD^2) = 2\left(\frac{|\vec{a} + \vec{b}|^2}{4} + \frac{|\vec{b} - \vec{a}|^2}{4}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2\right)$

$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$

证毕。这就是著名的阿波罗尼奥斯定理——三角形一边上的中线公式。

向量法的优势与局限

优势

1. 程序化：不需要灵光一闪，建系 → 写坐标 → 套公式 → 出结果，套路固定
2. 统一：平行、垂直、长度、角度、面积，一套工具搞定所有问题
3. 容错：计算错误最多扣步骤分，不会因为「没想到这个辅助线」而零分

局限

1. 计算量大：建系后坐标可能很复杂，计算容易出错
2. 依赖坐标系：选不好坐标系，计算会变得繁琐
3. 不够直观：有时候看不出几何本质，只是机械计算

建议：简单题用几何法（快），复杂题用向量法（稳）。考试中先用几何法想思路，再用向量法验证或求解，是最稳妥的策略。

在高中数学体系里的位置

向量在平面几何中的应用，是向量专题最重要的实用价值之一。

与解析几何的融合：向量法是解析几何的自然延伸——解析几何教你怎么用坐标研究几何，向量法教你怎么用向量简化坐标运算。两者结合，是处理平面几何问题的最强组合。

与三角函数的关联：用向量求夹角本质上是在用数量积代替正弦/余弦定理，有时计算更简洁。

高考地位：向量法解平面几何问题是高考常考题型，通常以解答题的第一问或填空题的形式出现。题目难度中等，是应该稳拿的分。

易错点：

1. 向量方向搞反——$\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BA}$ 差一个负号
2. 求夹角时忘记取绝对值，得到钝角而不是锐角
3. 定比分点公式用反比例——$\lambda = \frac{AP}{PB}$，不是 $\frac{PB}{AP}$
4. 中点公式记错——分子是和，分母是 2，不是 3

思考与拓展

1. 在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，用向量证明 $DE \parallel BC$ 且 $DE = \frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）。
2. 已知 $A(1, 0)$，$B(0, 2)$，$C(3, 1)$，求 $\triangle ABC$ 的重心坐标，并验证重心到三个顶点的距离之和最小（费马点）。
3. 用向量法证明：矩形的对角线相等。（提示：设 $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$，$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$）
4. 已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$，求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角。

一句话总结

向量法解平面几何：建系写坐标、向量表方向、点乘判垂直、模长算距离——把几何推理变成代数计算，机械但有效。