第3讲 平面向量基本定理与坐标表示——把向量变成数对

从一个问题开始

在平面上给你两个不共线的向量 $\vec{e}_1, \vec{e}_2$，再给你任意一个向量 $\vec{a}$，你能用 $\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 把 $\vec{a}$ 表示出来吗？

答案是：可以，而且只有一种表示方法。

这就是平面向量基本定理——它是向量可以坐标化的理论基础，也是整个向量体系中最重要的定理之一。

平面向量基本定理

如果 $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$，使得：

$$\vec{a} = \lambda_1 \vec{e}_1 + \lambda_2 \vec{e}_2$$

这两个不共线的向量 $\vec{e}_1, \vec{e}_2$，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的关键是四个字：有且只有。

• 「有」：任何向量都能表示为基底的线性组合（存在性）
• 「只有」：表示方法是唯一的（唯一性）

为什么基底要不共线？因为如果两个向量共线，那它们只能表示和它们同方向的向量——平面上其他方向的向量就表示不出来了。两个共线向量撑不起一个平面。

示意图

向量的坐标表示

平面向量基本定理告诉我们，只要选一组基底，平面上每个向量就对应唯一的一对数 $(\lambda_1, \lambda_2)$。

如果我们选一组最特殊的基底——两个互相垂直的单位向量，事情就变得更简单了。

在平面直角坐标系中，取与 $x$ 轴正方向相同的单位向量 $\boldsymbol{i}$，与 $y$ 轴正方向相同的单位向量 $\boldsymbol{j}$ 作为基底。那么任意向量 $\vec{a}$ 都可以唯一地表示为：

$$\vec{a} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j}$$

我们把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{a}$ 的坐标，记作：

$$\vec{a} = (x, y)$$

其中 $x$ 叫 $\vec{a}$ 在 $x$ 轴上的坐标，$y$ 叫在 $y$ 轴上的坐标。$\boldsymbol{i} = (1, 0)$，$\boldsymbol{j} = (0, 1)$。

特别地，位置向量：起点在原点的向量，它的终点坐标就是向量的坐标。换句话说，点 $A(x, y)$ 对应的位置向量 $\overrightarrow{OA}$ 的坐标就是 $(x, y)$。

但要注意：向量可以自由平移，所以不是只有起点在原点的向量才有坐标。任何向量，只要知道它在 $x$ 方向和 $y$ 方向的分量，就有坐标。向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标：

$$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$$

坐标运算

有了坐标，向量的线性运算就全部变成了数的运算——非常方便。

加法

如果 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，那么：

$$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2)$$

向量相加 = 坐标分别相加。

减法

$$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2)$$

向量相减 = 坐标分别相减。

数乘

$$\lambda \vec{a} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1)$$

数乘向量 = 数乘到每个坐标上。

向量的模

$$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$$

这就是勾股定理——横坐标平方加纵坐标平方开根号。

共线的坐标条件

$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线（$\vec{b} \neq \vec{0}$）的充要条件是：

$$x_1 y_2 = x_2 y_1$$

或者写成 $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$（当分母不为 0 时），也就是「交叉相乘相等」。

为什么？因为共线意味着 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$，即 $x_1 = \lambda x_2, y_1 = \lambda y_2$，消去 $\lambda$ 就得到 $x_1 y_2 = x_2 y_1$。

中点坐标公式与定比分点

向量坐标法在几何中最常用的一个结论是中点坐标公式：

若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标为：

$$M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

用向量怎么推？因为 $M$ 是中点，所以 $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$，代入坐标就得到了。

更一般地，如果点 $P$ 分线段 $AB$ 的比为 $\lambda$（即 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$），那么 $P$ 的坐标是：

$$P\left(\dfrac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda},\ \dfrac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)$$

这叫定比分点坐标公式。中点公式是 $\lambda = 1$ 时的特殊情况。

平面向量基本定理的深层意义

平面向量基本定理看起来只是在说「向量可以分解」，但它的深层意义远不止于此。

第一，它把几何问题代数化。 有了坐标表示，向量运算就变成了数的运算，几何问题就可以用代数方法来解决。这就是解析几何的基本思想——用代数方法研究几何。而向量是实现这个转化的桥梁。

第二，它揭示了平面的「二维性」。 为什么平面叫「二维」？因为你需要两个数（坐标）才能确定平面上的一个向量（或一个点）。那空间为什么是「三维」的？因为空间中你需要三个不共面的向量才能表示任意向量，所以是三维的。维度的本质，就是「最少需要几个基向量」。

第三，它是线性代数的雏形。 平面向量基本定理推广到 n 维空间，就是线性代数中的「基定理」——n 维线性空间中有 n 个基向量，任意向量都可以唯一表示为基向量的线性组合。你上大学学线性代数的时候，会发现整个第一章讲的东西，就是把我们这里讲的内容从二维、三维推广到 n 维。

在高中数学体系里的位置

平面向量基本定理是向量专题的「核心枢纽」——前面学的线性运算在这一讲被坐标化了，后面学的数量积也用坐标来表示。

和解析几何的关系：向量的坐标表示和解析几何完全兼容——你可以把向量直接用在解析几何题里，处理垂直、平行、夹角、中点等问题，有时候比用斜率和距离公式更方便。

和三角函数的关系：单位向量的坐标就是 $(\cos\theta, \sin\theta)$，这把向量和三角函数联系起来了。后面学的和差角公式，用向量数量积来推导非常简洁。

高考地位：向量的坐标表示是高考向量题的绝对主流——几乎所有向量题都可以（也应该）用坐标来做。常见题型包括：向量的坐标运算、判断共线、求模、用坐标法解决几何问题。

易错点：

1. 向量坐标是「终点减起点」，别减反了
2. 共线条件记错——是 $x_1 y_2 = x_2 y_1$，不是 $x_1 x_2 = y_1 y_2$
3. 把向量的坐标和点的坐标混为一谈——向量可以平移，坐标不变；点不能平移
4. 中点公式和定比分点公式用错比例

思考与拓展

1. 已知 $\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 2)$，求 $\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$、$3\vec{a} - 2\vec{b}$ 的坐标。
2. 已知 $A(1, 2)$，$B(3, -1)$，求 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标和模长。
3. 已知 $\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (x, 6)$，且 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，求 $x$ 的值。
4. 为什么说「两个共线的向量不能作为平面的一组基底」？如果强行用两个共线向量当基底，会出什么问题？

一句话总结

平面向量基本定理：两个不共线向量可以表示平面上所有向量，而且表示方法唯一。选单位正交基，向量就变成了坐标——几何变代数。