第2讲 向量的线性运算——加、减、数乘

从位移的合成说起

假设你从家往东走了 300 米到超市，又从超市往北走了 400 米到学校。那你从家到学校的位移是多少？

直接算的话，家到学校的直线距离是 500 米（勾股定理），方向是东北方向。

你看——两次位移加起来，得到的是一次新的位移。这就是向量的加法。

向量的加法、减法和数乘（乘以一个实数），合起来叫做向量的线性运算。

向量的加法

向量的加法有两种几何法则：三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则（首尾相接）

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$，将 $\vec{b}$ 的起点移到 $\vec{a}$ 的终点，那么从 $\vec{a}$ 的起点到 $\vec{b}$ 的终点的向量，就是 $\vec{a} + \vec{b}$。

简单说就是：首尾相接，从第一个起点到最后一个终点。

这就是我们开头位移合成的例子——先往东走 300 米，再往北走 400 米，总的位移就是从起点到终点的向量。

三角形法则可以推广到多个向量相加：

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$$

首尾相接，第一个起点到最后一个终点。

平行四边形法则（共起点）

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$，把它们的起点移到同一点，以这两个向量为邻边作平行四边形，那么从公共起点出发的对角线向量，就是 $\vec{a} + \vec{b}$。

三角形法则和平行四边形法则本质上是一样的——把一个向量平移一下，三角形就变成平行四边形了。

什么时候用哪个？ 两个向量首尾相接的时候用三角形法则，共起点的时候用平行四边形法则。

示意图

向量加法的性质

向量加法满足几条运算律：

• 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
• 零元：$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
• 相反元：$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

这些性质和数的加法很像，很好记。但要注意：向量加法的「加法」和数的加法虽然叫同一个名字，但它们是不同的运算——只是满足类似的运算律而已。

向量的减法

向量的减法是加法的逆运算：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。

换句话说：减一个向量等于加它的相反向量。

几何上怎么画呢？

如果两个向量共起点，那么 $\vec{a} - \vec{b}$ 就是从 $\vec{b}$ 的终点指向 $\vec{a}$ 的终点的向量。

记住一句话：共起点，连终点，指向被减。

比如 $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$——从 B 指向 A。

很多人初学的时候容易搞反方向，记住「指向被减向量」就不会错了。

向量的数乘

一个实数 $\lambda$ 和一个向量 $\vec{a}$ 相乘，得到一个新的向量，记作 $\lambda \vec{a}$，这种运算叫做数乘。

数乘的结果有什么特点？

• 长度：$|\lambda \vec{a}| = |\lambda| \cdot |\vec{a}|$
• 方向：
  • 如果 $\lambda > 0$，方向和 $\vec{a}$ 相同
  • 如果 $\lambda < 0$，方向和 $\vec{a}$ 相反
  • 如果 $\lambda = 0$，结果是零向量 $\vec{0}$

从几何上看，数乘就是对向量进行伸缩——$\lambda$ 是正数就拉长或缩短（方向不变），$\lambda$ 是负数就再翻个方向。

特别地：

• $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$
• $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

数乘也满足几条运算律：

• 结合律：$\lambda(\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a}$
• 第一分配律：$(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$
• 第二分配律：$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$

向量共线的条件

有了数乘，我们可以用代数语言描述「两个向量平行（共线）」这件事了。

向量 $\vec{a}$（$\vec{a} \neq \vec{0}$）和 $\vec{b}$ 共线，当且仅当存在唯一的实数 $\lambda$，使得 $\vec{b} = \lambda \vec{a}$。

换句话说：两个非零向量共线，就是一个可以由另一个「数乘」得到。

这个定理非常重要——它把「共线」这个几何概念，转化成了「存在实数 $\lambda$ 使得……」这个代数条件。以后证明三点共线、两条线平行，都可以用这个定理。

为什么要求 $\vec{a} \neq \vec{0}$？因为零向量和任何向量都平行，如果 $\vec{a}$ 是零向量，那 $\lambda$ 就不唯一了（甚至不存在），定理就不成立了。

线性运算的意义

向量的加法、减法、数乘，为什么叫「线性运算」？

因为这三种运算合起来，就是「线性组合」的概念：给定向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 和实数 $\lambda, \mu$，$\lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ 就是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的一个线性组合。

线性组合是线性代数的核心概念——你以后上大学学线性代数，一整门课都是围绕「线性组合」「线性空间」「线性变换」展开的。向量就是线性代数最朴素的例子。

在高中数学体系里的位置

向量的线性运算虽然简单，但它是整个向量专题的基础——后面学的向量分解、坐标表示、数量积，都建立在这个基础之上。

和几何证明的关系：有了线性运算，我们就可以用向量来证明几何中的平行、中点、共线等问题。比如证明三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，用向量加法两步就证完了，非常简洁。

和平面向量基本定理的关系：下一讲要学的平面向量基本定理，就是说「平面上的任意向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合」——这是向量可以坐标化的理论基础。

高考地位：向量的线性运算在高考中通常以选择题或填空题的形式出现，难度不大。常见题型包括：用两个已知向量表示另一个向量、判断三点共线、向量的模的计算等。

易错点：

1. 向量减法搞反方向——记住「指向被减向量」
2. 数乘的模：$|\lambda \vec{a}| = |\lambda| \cdot |\vec{a}|$，别忘了 $\lambda$ 外面也要加绝对值
3. 共线定理忘了「$\vec{a} \neq \vec{0}$」的前提
4. 把向量和数量混为一谈——向量没有「大于小于」，只有模可以比大小

思考与拓展

1. 已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 不共线，用三角形法则画出 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} - \vec{b}$，再用平行四边形法则验证一下。
2. 在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，用 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$。
3. 证明：$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$（这个不等式叫「三角不等式」，为什么叫这个名字？）
4. 三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 首尾相接构成三角形（即 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$），这三个向量需要满足什么条件？

一句话总结

向量加法：首尾相接（三角形）或共起点作平行四边形；减法：共起点、连终点、指向被减；数乘：伸缩+反向。三种运算合称线性运算。