第1讲 向量的概念——既有大小又有方向的量

从一个朴素的问题开始

从你家往东走 500 米到学校，和从学校往西走 500 米到你家，走的距离一样吗？一样，都是 500 米。

但这两件事是一回事吗？当然不是——方向完全相反。

我们学过的数（比如 500）只能表示大小，但很多物理量不仅有大小，还有方向：力有大小和方向，速度有大小和方向，位移有大小和方向…… 这种「既有大小又有方向的量」，就叫做向量。

只有大小没有方向的量（比如质量、温度、时间），叫做数量（也叫标量）。

向量的表示

几何表示：有向线段

在几何上，向量用有向线段来表示——一条带箭头的线段，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

起点是 $A$，终点是 $B$ 的向量，记作 $\overrightarrow{AB}$。

字母表示

也可以用一个小写字母表示，比如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，或者粗体的 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$（手写的时候写箭头，印刷的时候常用粗体）。

向量的模

向量的大小（也就是有向线段的长度）叫做向量的模，记作 $|\vec{a}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。

向量的模是一个非负实数，因为长度不可能是负数。

示意图

几种特殊的向量

零向量

长度为 0 的向量，叫做零向量，记作 $\vec{0}$（或粗体 $\boldsymbol{0}$）。

零向量的方向是任意的——因为长度为 0，你说它朝哪个方向都可以。这一点很特殊，也经常是题目的陷阱。

单位向量

长度为 1 个单位的向量，叫做单位向量。

注意：单位向量只是长度为 1，方向不一定相同。所以有无数个单位向量，它们的方向各不相同。

相等向量

长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量。向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 相等，记作 $\vec{a} = \vec{b}$。

这里有一个非常重要的思想：向量可以自由平移。 两个向量只要大小和方向都一样，不管起点在哪里，它们就是相等的向量。换句话说，向量没有固定的位置——你可以把它平移到任何地方，它还是原来那个向量。

这个性质看起来简单，但它是向量运算的基础。

相反向量

长度相等且方向相反的向量，叫做相反向量。$\vec{a}$ 的相反向量记作 $-\vec{a}$。

$\overrightarrow{AB}$ 的相反向量是 $\overrightarrow{BA}$——起点和终点反过来了。

平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量，也叫共线向量。$\vec{a}$ 平行于 $\vec{b}$，记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。

为什么平行向量也叫共线向量？因为向量可以自由平移——任何一组平行向量都可以移到同一条直线上，所以平行就是共线。

规定：零向量和任何向量都平行。（因为零向量方向任意嘛）

向量和数量的区别

初学向量的时候，最容易犯的错误就是把数量的思维惯性带过来。这里有几个关键区别：

1. 数量可以比较大小，向量不能。 你不能说「$\vec{a} > \vec{b}$」，因为向量有方向，没法比大小。但向量的模可以比较大小：$|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 是有意义的。

2. 数量有正负，向量没有。 向量有方向，但没有「正负向量」的说法。$-\vec{a}$ 表示的是 $\vec{a}$ 的相反向量，不是「负的向量」。

3. 数量只有一个维度，向量有两个（平面）或三个（空间）维度。 数量是一维的，向量是二维或三维的。这也是为什么向量能用来解决几何问题——它本身就有「方向性」。

为什么要学向量

可能你会问：好好的几何不学，为什么要学向量？学了向量有什么用？

向量的价值，在于它是连接几何和代数的桥梁。

传统的几何法：用定义、公理、定理来推理证明，画辅助线，靠空间想象力和逻辑推理。优点是直观、几何意义清晰，缺点是有时候很难想到辅助线怎么画，对技巧要求高。

向量法：把几何问题转化为代数运算——建坐标系、写坐标、算向量、套公式。优点是「机械」——思路比较固定，不需要太多灵感，按步骤算就行。缺点是计算量大，而且有时候几何意义不那么直观。

在高考中，向量法往往是几何题的「保底」方法。 如果你几何法想不出来，建系用向量算，虽然计算麻烦一点，但肯定能做出来。

除了解几何题，向量本身也有丰富的内容——向量的线性运算、数量积、向量分解…… 这些概念在物理、工程、计算机图形学中都有广泛应用。

在高中数学体系里的位置

向量在高中数学里是一个「枢纽型」的内容——它本身是一个独立的板块，但又和很多其他板块紧密相连。

和三角函数的关系：向量的坐标表示天然和三角函数有关——单位向量的坐标就是 $(\cos\theta, \sin\theta)$。后面学三角恒等变换，用向量的数量积可以非常简洁地推导出和差角公式。

和解析几何的关系：解析几何本身就是用坐标法研究几何，向量的坐标运算和解析几何是无缝衔接的。用向量处理垂直、平行、夹角问题，有时候比用斜率更方便（尤其是直线斜率不存在的时候）。

和立体几何的关系：空间向量是解决立体几何问题的「万能方法」——证明平行垂直、求角度求距离，全都可以用空间向量来算。

和函数、不等式的关系：向量的数量积有一个非常重要的不等式——柯西不等式（也叫柯西—布尼亚科夫斯基不等式），它是不等式证明的一个有力工具。

高考地位：向量在高考中通常占 5-10 分，一道选择或填空（5 分），再加上立体几何大题中用空间向量解题（间接占分）。难度不大，是应该稳稳拿分的内容。

这个专题怎么学

在这个专题里，我们会沿着「从平面到空间」的线索走：

1. 先学平面向量的基本概念——什么是向量、向量怎么表示
2. 再学向量的线性运算——加法、减法、数乘
3. 然后学平面向量基本定理与坐标表示——向量怎么用坐标表示、怎么用坐标运算
4. 接着学向量的数量积——向量的「乘法」，以及它的几何意义
5. 最后推广到空间向量——把平面向量的结论推广到三维空间

学向量，关键是养成「用向量思考」的习惯——遇到几何问题，先想想能不能用向量来表示、用向量来算。一旦你习惯了向量思维，很多几何问题就变得简单了。

思考与拓展

1. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
   • （1）单位向量都相等
   • （2）若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$，则 $\vec{a} = \vec{b}$
   • （3）零向量没有方向
   • （4）平行向量就是方向相同的向量
2. 在正六边形中，以六个顶点和中心为起点或终点，可以找出多少对相等的向量？
3. 为什么说「向量可以自由平移」是一个很重要的性质？你能想到什么应用吗？
4. 你能用自己的话解释一下，为什么向量是「连接几何和代数的桥梁」吗？

一句话总结

向量是既有大小又有方向的量，可以自由平移——相等向量只看大小和方向，不管起点在哪里。