第16讲 三角函数小结——从圆到波浪

示意图

知识地图

三角函数的知识体系可以用一张图来概括：

                    三角函数
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
     定义            恒等变换         应用
        │               │               │
   单位圆          和差角公式        解三角形
   六个函数       二倍角/半角       正弦定理
   诱导公式      辅助角公式        余弦定理
   同角关系      积化和差        面积公式
                  反三角函数
        │               │               │
        └───────────────┼───────────────┘
                        │
                   图像与性质
                        │
              周期、振幅、相位
              单调性、最值、奇偶

核心公式速查

基本关系

• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
• $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
• $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$

和差角

• $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
• $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
• $\tan(\alpha\pm\beta) = \dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

二倍角

• $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
• $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
• $\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

降幂

• $\sin^2\alpha = \dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$
• $\cos^2\alpha = \dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$

辅助角

• $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$

解三角形

• 正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
• 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
• 面积：$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{abc}{4R} = rs$

一个终极洞察

学完整个三角函数，你最应该带走的是什么？

不是公式，不是题型，而是一个世界观：

很多看似复杂的现象，背后都有一个简单的圆形结构。

• 简谐振动 → 正弦曲线
• 交流电 → 正弦波形
• 声音的谐波 → 多个正弦波的叠加
• 光的干涉 → 波的叠加
• 地球的公转 → 椭圆（圆的推广）

三角函数不是人为发明的规则，它是自然界中最基本的周期性现象的数学语言。

这也是为什么两千年来，从希腊天文学家到现代物理学家，都在反复回到三角函数——因为它描述的不是我们强加给世界的东西，而是世界本身的结构。

本章的一句话

从单位圆出发，经过恒等变换的千变万化，最终回归到一个简单的波形——这就是三角函数的全部。