第15讲 三角函数综合——与向量、函数的交汇

示意图

三角函数与向量

向量是高中数学里少有的能和三角函数无缝对接的工具。

向量的数量积与角度

两个向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$ 的数量积：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2$$

其中 $\theta$ 是两个向量的夹角。

这个公式把向量的代数运算和三角函数联系起来了。

经典题型

已知向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$，$\vec{b} = (\cos x, -\sin x)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $|\vec{a} + \vec{b}|$。

解：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sin x\cos x - \cos x\sin x = 0$$

所以 $\vec{a} \perp \vec{b}$。

$$\vec{a} + \vec{b} = (\sin x + \cos x, \cos x - \sin x)$$ $$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\sin x + \cos x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 = 2$$ $$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2}$$

三角函数与函数

三角函数本身就是函数，所以很多函数性质直接适用：

• 定义域、值域
• 单调性、奇偶性
• 周期性
• 最值

但三角函数还有自己的特色：

• 周期性是独有的（一般函数没有）
• 有界性（sin 和 cos 有界，tan 无界）
• 特殊的对称性

三角函数与不等式

三角不等式是综合题的常见形式：

基本不等式

$$|\sin x| \le 1, \quad |\cos x| \le 1$$

这是最简单的三角不等式，但在放缩证明中非常有用。

更强的不等式

当 $x \in (0, \pi/2)$ 时：

$$\sin x < x < \tan x$$

这个不等式在极限证明和面积估计中经常用到。

一道经典综合题

已知函数 $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$，求： (1) f(x) 的最小正周期和最大值； (2) f(x) 的单调递增区间； (3) 若 $f(\alpha) = \dfrac{8}{5}$，求 $\sin 2\alpha$ 的值。

解：

(1) $f(x) = 2\sin(x + \pi/3)$，周期 $2\pi$，最大值 2。

(2) 递增区间：$[-\pi/2 + 2k\pi - \pi/3, \pi/2 + 2k\pi - \pi/3]$，即 $[-5\pi/6 + 2k\pi, \pi/6 + 2k\pi]$。

(3) $\sin(\alpha + \pi/3) = 4/5$。

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。需要先求出 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$。

设 $\beta = \alpha + \pi/3$，则 $\sin\beta = 4/5$。$\cos\beta = \pm 3/5$。

$\alpha = \beta - \pi/3$，所以：

$\sin\alpha = \sin\beta\cos(\pi/3) - \cos\beta\sin(\pi/3) = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2} - (\pm\dfrac{3}{5}) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4 \mp 3\sqrt{3}}{10}$

$\cos\alpha = \cos\beta\cos(\pi/3) + \sin\beta\sin(\pi/3) = (\pm\dfrac{3}{5}) \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pm 3 + 4\sqrt{3}}{10}$

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{2(4 \mp 3\sqrt{3})(\pm 3 + 4\sqrt{3})}{100}$

这个题的关键是辅助角公式 + 和差角公式的组合运用，每一步都是前面学过的工具。

在高中数学体系里的位置

三角函数的综合题是高考的压轴级别内容，通常出现在解答题的最后两题之一。

这类题的特点：不考偏题怪题，但考察基本功的扎实程度和综合运用能力。题目本身不难，但需要多个知识点串联才能完整解答。

本章结语

从弧度制到反三角函数，从单位圆定义到综合应用，三角函数这一章涵盖了高中数学中最重要的函数类型之一。

回顾整个专题，有三个核心思想值得记住：

1. 单位圆是根基——所有定义、公式、性质都从单位圆出发
2. 周期性是灵魂——三角函数的周期性和对称性决定了它的结构
3. 变换是手段——和差角、二倍角、辅助角、诱导公式，都是为了把复杂问题化简单

掌握了这些，三角函数就不再是一个个需要死记的公式，而是一个有机整体。

思考与拓展

1. 你能用向量方法证明余弦定理吗？（提示：用 $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$ 和数量积）
2. 已知 $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{1}{5}$，求 $\sin 2\alpha$。
3. 你能证明 $\sin x + \sin 2x + \sin 3x > 0$ 对所有 $x \in (0, \pi/2)$ 成立吗？
4. 这个专题里哪一讲你最有收获？哪一讲你觉得最难？

一句话总结

三角函数的全部，就是一个单位圆——所有公式、性质、综合题，都从这个圆里长出来。