三角方程与不等式——解三角

从一个问题开始

代数方程 $x^2 = 4$ 有两个解：$x = 2$ 和 $x = -2$。解完了。

三角方程 $\sin x = \dfrac{1}{2}$ 有几个解？

$$\ldots, -\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \ldots$$

无穷多个。这不是题目出错，是周期性的必然结果——加上 $2\pi$ 的正弦值不变，所以解沿整条数轴重复。

由此产生一个纪律：解三角方程必须写通解（所有解的集合），只写一个特解等于没解。这一讲就是教「怎么把通解写全，又不写重」。

示意图

解三角方程的基本原则

解三角方程和代数方程最大的不同：三角方程通常有无穷多个解。

因为三角函数是周期函数，一个角度加上周期的整数倍，函数值不变。所以解三角方程时，必须写出通解（所有解的集合），而不能只写一个特解。

单位的圆是唯一的验算工具。 每写一个通解，回到单位圆上看一眼：一条水平线（或竖直线）与圆交几点？每个交点对应一个解。点数对不上，通解就写错了。

基本三角方程

sin x = a

当 $|a| > 1$ 时无解。

当 $|a| \le 1$ 时，设 $\alpha = \arcsin a$（$\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]$），则：

$$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{或} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

记忆方法：在单位圆上，$\sin x = a$ 对应一条水平线 $y = a$，与单位圆有两个交点（除非 $a = \pm 1$）。这两个交点对应的角度就是两个解。

以 $a = \dfrac{1}{2}$ 为例：水平线 $y = \dfrac{1}{2}$ 与单位圆交于

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \qquad x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

逐项验证（每个 $k$ 下 sin 值都是 0.500000）：

$k$	$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$	$\sin x$	$x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$	$\sin x$
$-1$	$-\dfrac{11\pi}{6}$	0.500000	$-\dfrac{7\pi}{6}$	0.500000
$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	0.500000	$\dfrac{5\pi}{6}$	0.500000
$1$	$\dfrac{13\pi}{6}$	0.500000	$\dfrac{17\pi}{6}$	0.500000

两个解之间为什么是 $\pi - \alpha$？ 因为单位圆上 $y$ 坐标相同的两点关于 $y$ 轴对称：$(\cos\alpha, \sin\alpha)$ 和 $(-\cos\alpha, \sin\alpha)$。后者的角度是 $\pi - \alpha$。这是几何事实，不用背。

cos x = a

当 $|a| > 1$ 时无解。

当 $|a| \le 1$ 时，设 $\alpha = \arccos a$（$\alpha \in [0, \pi]$），则：

$$x = \pm\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

记忆方法：$\cos x = a$ 对应一条竖直线 $x = a$，与单位圆有两个交点，这两个交点关于 x 轴对称。

以 $a = -\dfrac{1}{2}$ 为例：竖直线 $x = -\dfrac{1}{2}$ 与单位圆交于

$$x = \pm\frac{2\pi}{3}$$

即 $\dfrac{2\pi}{3}$ 和 $-\dfrac{2\pi}{3}$（后者在 $[0, 2\pi)$ 内等价于 $\dfrac{4\pi}{3}$）。验证：两点的 cos 值都是 $-0.500000$。

为什么 cos 的通解比 sin 短？ 因为 arccos 的值域 $[0, \pi]$ 已经包含了「非负角」，而 arcsin 的值域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 关于原点对称，需要额外的 $\pi - \alpha$ 去补另一半。通解的形式取决于反函数值域的选择。

tan x = a

对任意实数 $a$ 都有解：

$$x = \arctan a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

注意：tan 的周期是 π，不是 2π，所以只有一个通解公式。

这是本讲最该问清楚的问题：为什么 sin 和 cos 要写两个通解，tan 只写一个？

答案在周期上：

$$\sin 的周期 = 2\pi, \qquad \cos 的周期 = 2\pi, \qquad \tan 的周期 = \pi$$

在 $[0, 2\pi)$ 这一个范围内，$\sin x = a$ 和 $\cos x = a$ 各有两个解，但 $\tan x = a$ 也有两个——只不过第二个恰好等于第一个加 $\pi$，已经被 $k\pi$ 吸收了。

以 $\tan x = \sqrt3$ 为例：在 $[0, 2\pi)$ 内解是 $\dfrac{\pi}{3}$ 和 $\dfrac{4\pi}{3}$。但

$$\frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi$$

所以通解 $\dfrac{\pi}{3} + k\pi$ 一条就盖住了两个。不是 tan 只有一个解，是它的周期短到把两个解折进了一个公式。

顺带一个恒等式：$\tan x = a$ 的「第二个解」永远等于第一个加 $\pi$，所以正切方程的解在每个 $\pi$ 区间里恰好有一个——这是 tan 严格单调的直接结果。

综合三角方程

二次型三角方程

形如 $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ 的方程，可以看作关于 $\sin x$ 的二次方程。令 $t = \sin x$，解出 $t$，再解 $\sin x = t$。

例子：解 $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$。

令 $t = \sin x$：

$$2t^2 - 3t + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (2t - 1)(t - 1) = 0$$ $$t = \frac{1}{2} \quad \text{或} \quad t = 1$$

分别解：

$$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \text{或}\ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$ $$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

合并，共有三组通解。

关键提醒：解出 $t$ 之后必须检查 $|t| \le 1$。若 $t = 2$，则 $\sin x = 2$ 无解，这一支直接丢掉。很多学生算到 $t = \dfrac{5}{3}$ 还在继续写通解——那是白写。

和差化积型

形如 $\sin x + \sin 2x = 0$ 的方程，用和差化积公式因式分解。

辅助角型

形如 $a\sin x + b\cos x = c$ 的方程，用辅助角公式化为 $\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$，再用基本方程求解。

这里的隐藏条件：必须 $\left|\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| \le 1$ 才有解。辅助角化完之后别急着写通解，先判断右边超不超过 1。

复合角：为什么 sin 2x 的解会翻倍

这是最容易出错的一类。

例子：解 $\sin 2x = \dfrac{\sqrt3}{2}$，$x \in [0, 2\pi]$。

关键一步：把 $2x$ 看成一个整体。 设 $u = 2x$，先解 $\sin u = \dfrac{\sqrt3}{2}$：

$$u = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{或} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$

代回 $u = 2x$：

$$x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{或} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi$$

在 $[0, 2\pi]$ 内取 $k$：

$$x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$$

四个解。逐个验证（sin(2x) 都是 0.866）：

$x$	$2x$	$\sin 2x$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{3}$	0.866026
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{2\pi}{3}$	0.866025
$\frac{7\pi}{6}$	$\frac{7\pi}{3}$	0.866025
$\frac{4\pi}{3}$	$\frac{8\pi}{3}$	0.866026

为什么解翻倍了？ 因为 $u = 2x$ 的周期是 $2\pi$，对应到 $x$ 上周期变成 $\pi$。同一个 $[0, 2\pi]$ 区间里塞进了两个周期，解自然多一倍。

易错点：很多学生解完 $\sin u$ 就直接写 $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$——忘了把 $2$ 除下去。周期该是 $\pi$ 不是 $2\pi$。

三角不等式

解三角不等式和方程类似，但解集是一段一段的区间。

常用方法：

1. 画单位圆或函数图像
2. 确定边界点
3. 判断各区间的符号

例子：解 $\sin x > \dfrac{1}{2}$，在单位圆上看，就是纵坐标大于 $\dfrac{1}{2}$ 的部分——对应角度区间 $\left(\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right)$。

再例如 $\cos x \le -\dfrac{1}{2}$，$x \in [0, 2\pi]$。边界点是 $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ 的解，即 $x = \dfrac{2\pi}{3}$ 和 $\dfrac{4\pi}{3}$。逐段验证符号：

$x$	$90°$	$120°$	$180°$	$240°$	$270°$
$\cos x$	0.0000	$-0.5000$	$-1.0000$	$-0.5000$	$-0.0000$
满足 $\le -\frac{1}{2}$	✗	✓	✓	✓	✗

解集是 $\left[\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}\right]$。

边界取不取等号：原题含等号（$\le$），所以边界点算进去，用闭区间。若不含等号，用开区间。

三角不等式和方程的关系：把不等号换成等号，解就是不等式的边界。先解方程，再判区间符号，这是通用流程。

在高中数学体系里的位置

三角方程和不等式是三角函数的综合应用，难度中等偏上。

高考中这类题常作为选择题或填空题出现，也可能作为大题的一部分。关键是熟练写出通解公式，以及正确判断不等式的解集。

三个高频丢分点：

1. 漏通解——只写一个特解，或者该写两组只写一组
2. 复合角忘除系数——$\sin 2x$ 的周期该是 $\pi$ 却写 $2\pi$
3. 换元后不检查 $|t| \le 1$——解出 $t = \dfrac{5}{3}$ 还在往下写

思考与拓展

1. 解方程 $\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$x \in [0, 2\pi]$。为什么有四个解？
2. 解不等式 $\cos x \le -\dfrac{1}{2}$，$x \in [0, 2\pi]$。先解方程再判符号。
3. 解方程 $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$。（提示：令 $t = \sin x$，注意检查 $|t| \le 1$。）
4. 你能证明：方程 $\sin x = x$ 在实数范围内只有一个解吗？（提示：设 $f(x) = \sin x - x$，看 $f'(x)$ 的符号。）
5. 思考题：为什么 $\tan x = a$ 的通解只有一个公式，而 $\sin x = a$ 有两个？从周期角度解释。
6. 思考题：解 $\tan 2x = 1$，$x \in [0, \pi)$。它有几个解？如果误以为周期是 $2\pi$ 会漏掉哪些？

高考母题

（2026·北京） 已知函数 $f(x)=2sinωxcosφ+2cosωxsinφ$ ， $ω>0$ ， $\left | { φ } \right | < \frac { { \pi } } { 2 }$ ． $f(x)$ 最小正周期为 ${ \pi }$ ，且 $f(0)>0$ ， $f(\frac { { \pi } } { 4 })=1$ ．
(1)求 $ω$ 、 $φ$ 的值；
(2)求 $f(x)$ 的单调递减区间．

展开详解

(1) $ω=2$ ， $φ=\frac { { \pi } } { 3 }$
(2) $\left[ k{ \pi }+\frac { { \pi } } { 12 },k{ \pi }+\frac { 7{ \pi } } { 12 } \right]\left ( { k∈Z } \right )$ 【分析】
（1）利用两角和正弦公式化简可得 $f\left ( { x } \right )=2sin\left ( { ωx+φ } \right )$ ，结合正弦型函数周期公式列方程求 $ω$ ，再由 $f\left ( { 0 } \right )>0,f\left ( { \frac { { \pi } } { 4 } } \right )=1$ 列式求 $φ$ ；
（2）根据正弦型函数单调区间求法求结论.
（1）因为 $f\left ( { x } \right )=2sinωxcosφ+2cosωxsinφ$ ， 所以 $f\left ( { x } \right )=2sin\left ( { ωx+φ } \right )$ ， 又 $f\left ( { x } \right )$ 的最小正周期为 ${ \pi }$ ， $ω>0$ ， 所以 $\frac { 2{ \pi } } { ω }={ \pi }$ ，所以 $ω=2$ ， 因为 $f\left ( { 0 } \right )>0,f\left ( { \frac { { \pi } } { 4 } } \right )=1$ ， 所以 $sinφ>0$ ， $2sin\left ( { 2×\frac { { \pi } } { 4 }+φ } \right )=1$ ， 所以 $0 < φ < \frac { π } { 2 }$ ， $cosφ=\frac { 1 } { 2 }$ ， 所以 $φ=\frac { { \pi } } { 3 }$ ， 所以 $f\left ( { x } \right )=2sin\left ( { 2x+\frac { { \pi } } { 3 } } \right )$ ，
（2）令 $2k{ \pi }+\frac { { \pi } } { 2 }≤2x+\frac { { \pi } } { 3 }≤2k{ \pi }+\frac { 3{ \pi } } { 2 }$ ， $k∈Z$ ，可得 $k{ \pi }+\frac { { \pi } } { 12 }≤x≤k{ \pi }+\frac { { 7 }{ \pi } } { 12 }$ ， $k∈Z$ ， 函数 $f\left ( { x } \right )=2sin\left ( { 2x+\frac { { \pi } } { 3 } } \right )$ 的单调递减区间为 $\left[ k{ \pi }+\frac { { \pi } } { 12 },k{ \pi }+\frac { { 7 }{ \pi } } { 12 } \right]$ $\left ( { k∈Z } \right )$ .

一句话总结

解三角方程的关键是写出通解——不要忘记周期性。单位圆是最好的验证工具，而周期长短决定了解到底该写几组。