第14讲 三角方程与不等式——解三角

示意图

解三角方程的基本原则

解三角方程和代数方程最大的不同：三角方程通常有无穷多个解。

因为三角函数是周期函数，一个角度加上周期的整数倍，函数值不变。所以解三角方程时，必须写出通解（所有解的集合），而不能只写一个特解。

基本三角方程

sin x = a

当 $|a| > 1$ 时无解。

当 $|a| \le 1$ 时，设 $\alpha = \arcsin a$（$\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]$），则：

$$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{或} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

记忆方法：在单位圆上，$\sin x = a$ 对应一条水平线 $y = a$，与单位圆有两个交点（除非 $a = \pm 1$）。这两个交点对应的角度就是两个解。

cos x = a

当 $|a| > 1$ 时无解。

当 $|a| \le 1$ 时，设 $\alpha = \arccos a$（$\alpha \in [0, \pi]$），则：

$$x = \pm\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

记忆方法：$\cos x = a$ 对应一条竖直线 $x = a$，与单位圆有两个交点，这两个交点关于 x 轴对称。

tan x = a

对任意实数 $a$ 都有解：

$$x = \arctan a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

注意：tan 的周期是 π，不是 2π，所以只有一个通解公式。

综合三角方程

二次型三角方程

形如 $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ 的方程，可以看作关于 $\sin x$ 的二次方程。令 $t = \sin x$，解出 $t$，再解 $\sin x = t$。

和差化积型

形如 $\sin x + \sin 2x = 0$ 的方程，用和差化积公式因式分解。

辅助角型

形如 $a\sin x + b\cos x = c$ 的方程，用辅助角公式化为 $\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$，再用基本方程求解。

三角不等式

解三角不等式和方程类似，但解集是一段一段的区间。

常用方法：

1. 画单位圆或函数图像
2. 确定边界点
3. 判断各区间的符号

比如 $\sin x > \dfrac{1}{2}$，在单位圆上看，就是纵坐标大于 1/2 的部分——对应角度区间 $(\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi)$。

在高中数学体系里的位置

三角方程和不等式是三角函数的综合应用，难度中等偏上。

高考中这类题常作为选择题或填空题出现，也可能作为大题的一部分。关键是熟练写出通解公式，以及正确判断不等式的解集。

思考与拓展

1. 解方程 $\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$x \in [0, 2\pi]$。
2. 解不等式 $\cos x \le -\dfrac{1}{2}$，$x \in [0, 2\pi]$。
3. 解方程 $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$。
4. 你能证明：方程 $\sin x = x$ 在实数范围内只有一个解吗？

一句话总结

解三角方程的关键是写出通解——不要忘记周期性。单位圆是最好的验证工具。