第13讲 反三角函数——三角的逆运算

示意图

为什么需要反三角函数

正弦函数 $\sin x$ 把一个角度变成一个数值。但很多时候我们需要反过来：已知一个数值，求对应的角度。

比如：$\sin x = \dfrac{1}{2}$，求 $x$。

用初中知识，我们知道 $x = 30°$ 或 $x = 150°$（在一个周期内）。但这只覆盖了特殊情况。对于一般的数值，我们需要更系统的方法。

反三角函数的定义

arcsin x（反正弦）

y = arcsin x 表示"正弦等于 x 的那个角 y"。

但 sin x 不是单射（一个 y 值可能对应多个 x），所以我们需要限制定义域来保证反函数存在。

定义：arcsin x 是 sin x 在 $[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$ 上的反函数。

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$

arccos x（反余弦）

定义：arccos x 是 cos x 在 $[0, \pi]$ 上的反函数。

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[0, \pi]$

arctan x（反正切）

定义：arctan x 是 tan x 在 $(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$ 上的反函数。

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$

关键性质

互为反函数

注意第二个等式有条件限制——只有当 $x$ 在主值区间内时成立。

奇偶性

• arcsin(-x) = -arcsin x（奇函数）
• arccos(-x) = π - arccos x
• arctan(-x) = -arctan x（奇函数）

重要恒等式

在高中数学体系里的位置

反三角函数在高考中属于选考内容（或作为工具使用），不要求深入推导，但需要会用。

常见考法：

1. 求值：$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\arccos(-\dfrac{1}{2})$ 等
2. 化简：$\sin(\arcsin x)$、$\tan(\arctan x)$ 等
3. 解三角方程：$\sin x = a$ 的通解

思考与拓展

1. 求 $\arcsin\dfrac{1}{2}$、$\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\arctan(-\sqrt{3})$ 的值。
2. 证明：$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ 对所有 $x \in [-1, 1]$ 成立。
3. 解方程 $\sin x = \dfrac{3}{5}$，$x \in [0, 2\pi]$。
4. 你能画出 y = arcsin x 的图像吗？它和 y = sin x 的图像有什么关系？

一句话总结

反三角函数是"已知函数值求角度"的工具——arcsin 给出 [-π/2, π/2] 范围内的角，arccos 给出 [0, π] 范围内的角。