反三角函数——三角的逆运算

从一个问题开始

正弦函数 $\sin x$ 把一个角度变成一个数值。但很多时候我们需要反过来：已知一个数值，求对应的角度。

比如：$\sin x = \dfrac{1}{2}$，求 $x$。

用初中知识，我们知道 $x = 30°$ 或 $x = 150°$（在一个周期内）。但这只覆盖了特殊情况。对于一般的数值，我们需要更系统的方法。

这里藏着一个根本困难：$\sin x = \dfrac{1}{2}$ 有无穷多个解——$30°$、$150°$、$390°$、$-210°$……一条数轴排不完。如果有人说"$\dfrac{1}{2}$ 的逆运算是 $30°$」，凭什么？凭什么不是 $150°$？

这一讲回答的就是这个问题。

示意图

反三角函数的定义

arcsin x（反正弦）

$y = \arcsin x$ 表示"正弦等于 $x$ 的那个角 $y$"。

但 $\sin x$ 不是单射（一个 $y$ 值可能对应多个 $x$），所以我们需要限制定义域来保证反函数存在。

定义：$\arcsin x$ 是 $\sin x$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数。

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$

arccos x（反余弦）

定义：$\arccos x$ 是 $\cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上的反函数。

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[0, \pi]$

arctan x（反正切）

定义：$\arctan x$ 是 $\tan x$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上的反函数。

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

深入理解

一、值域为什么偏偏是这几个区间

这是本讲最该问的问题。答案只有一个词：单调。

反函数存在的前提是原函数是单射——一个函数值只能对应一个自变量。三角函数在一个周期内都不单射（$\sin 30° = \sin 150°$），所以必须截取一段单调且覆盖全部函数值的区间。

逐个检查：

$$\sin x \text{ 在 } \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]: \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1, \quad \sin 0 = 0, \quad \sin\frac{\pi}{2} = 1$$

单调递增，且函数值从 $-1$ 连续爬到 $1$，一个不漏。

$$\cos x \text{ 在 } [0, \pi]: \quad \cos 0 = 1, \quad \cos\frac{\pi}{2} = 0, \quad \cos\pi = -1$$

单调递减，同样从 1 到 $-1$ 全覆盖。

$$\tan x \text{ 在 } \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right): \quad \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1, \quad \tan 0 = 0, \quad \tan\frac{\pi}{4} = 1$$

严格递增，且覆盖全体实数。

为什么不换别的区间？ 试一个：把 $\arcsin$ 的值域换成 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ 行不行？

不行。$\sin x$ 在这个区间里先从 1 降到 $-1$（$\frac{\pi}{2} \to \frac{3\pi}{2}$ 中途过 $\frac{\pi}{2}$ 之后的下降段）再升回 1——不单调，同一个函数值仍对应两个角。单调性是硬约束，没有商量余地。

在满足单调的区间里，还要挑"好用"的。$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 是包含 0 且关于原点对称的那一段，于是 $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ 成立（奇函数）——这是选它的附加理由。$\arccos$ 取 $[0, \pi]$ 则保证了函数值非负，跟"角度为正"的直觉一致。

二、arcsin(sin 150°) 等于多少

这是本讲最值得练的一个例子，也是最多人答错的地方。

按定义，$\arcsin y$ 的值落在 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 里。$150°$ 不在这个区间内，所以

$$\arcsin(\sin 150°) \neq 150°$$

正确算法分两步：

1. 先算函数值：$\sin 150° = \dfrac{1}{2}$
2. 再取主值：$\arcsin \dfrac{1}{2} = 30°$

所以

$$\arcsin(\sin 150°) = 30°$$

推广成规律：$\arcsin(\sin x)$ 干的事情是「把任意角 $x$ 压回主值区间」。压回去的结果总是落在 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 里——如果 $x$ 本来就在，结果就是 $x$ 自己；如果不在，结果是被"折叠"回来的那个角。

再看几个：

$$x = 210° \Rightarrow \arcsin(\sin 210°) = -30°$$ $$x = 390° \Rightarrow \arcsin(\sin 390°) = 30°$$ $$x = -150° \Rightarrow \arcsin(\sin(-150°)) = -30°$$

只有 $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$\arcsin(\sin x) = x$ 才成立。 原稿那句"当 $x$ 在主值区间内时成立」，说的就是这件事。现在你知道它为什么带条件了。

三、三角方程的通解怎么来的

反三角函数给出的只是一个角（主值），方程的解是一串角。

以 $\sin x = \dfrac{3}{5}$ 为例，$x \in [0, 2\pi]$：

设 $\alpha = \arcsin \dfrac{3}{5}$，则 $\alpha$ 是 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 里的那个锐角。而 $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ 也等于 $\dfrac{3}{5}$，所以

$$x_1 = \alpha, \qquad x_2 = \pi - \alpha$$

两个解，一个锐角一个钝角，关于 $\dfrac{\pi}{2}$ 对称。

所以通解的写法是固定的：先用 $\arcsin$ 求主值，再用 $\pi - \alpha$ 补另一个，最后加 $2k\pi$。三件套，没有第四步。

关键性质

互为反函数

$$\sin(\arcsin x) = x, \quad \arcsin(\sin x) = x \text{（当 } x \in [-\pi/2, \pi/2]\text{）}$$

注意第二个等式有条件限制——只有当 $x$ 在主值区间内时成立。

为什么第一个等式无条件？ 因为 $\arcsin x$ 的值域就是 $\sin$ 的那个单调区间，往里代一定落在区间内，第一个等式的"条件"自动满足。

奇偶性

• $\arcsin(-x) = -\arcsin x$（奇函数）
• $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$
• $\arctan(-x) = -\arctan x$（奇函数）

为什么 arcsin 和 arctan 是奇函数，arccos 不是？ 因为前者的值域关于原点对称，后者的是 $[0, \pi]$，关于 $\dfrac{\pi}{2}$ 对称——所以 $\arccos(-x)$ 要绕 $\dfrac{\pi}{2}$ 翻一下，多出一个 $\pi$。

数值验算（取 $x = 0.6$）：

$$\arcsin(-0.6) = -0.6435 = -\arcsin(0.6)$$ $$\arccos(-0.6) = 2.2143 = \pi - \arccos(0.6) = \pi - 0.9273$$

重要恒等式

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

怎么证？ 记 $\alpha = \arcsin x$，则 $\sin \alpha = x$ 且 $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$。而

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha = x$$

且 $\dfrac{\pi}{2} - \alpha \in [0, \pi]$，正落在 $\arccos$ 的值域里。所以 $\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \alpha$，移项即得。

这个证明是本讲最好的练习——它把"定义域值域」和「诱导公式」两件事用在一处。

$$\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \quad (x > 0)$$

同理可证，留作练习。

常见考法

1. 求值：$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ 等
2. 化简：$\sin(\arcsin x)$、$\tan(\arctan x)$ 等
3. 解三角方程：$\sin x = a$ 的通解
4. 比较大小——这是最容易丢分的，必须记住各自的值域

几个典型求值：

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$ $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$$ $$\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

注意第二个：$\arccos$ 的值域是 $[0, \pi]$，所以答案必须是正的。负的函数值对应钝角，不是负角。

在高中数学体系里的位置

反三角函数在高考中属于选考内容（或作为工具使用），不要求深入推导，但需要会用。

常见考法：

1. 求值：$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ 等
2. 化简：$\sin(\arcsin x)$、$\tan(\arctan x)$ 等
3. 解三角方程：$\sin x = a$ 的通解

它的深层地位：反三角函数是"可反解"这件事的第一个具体例子。后面学对数函数（指数的逆）、学反函数求导，用的都是同一套逻辑——限制定义域、构造逆映射。把这一讲的思想吃透，后面学任何逆函数都是复习。

思考与拓展

1. 求 $\arcsin\dfrac{1}{2}$、$\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\arctan(-\sqrt{3})$ 的值。
2. 证明：$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ 对所有 $x \in [-1, 1]$ 成立。
3. 解方程 $\sin x = \dfrac{3}{5}$，$x \in [0, 2\pi]$。
4. 你能画出 $y = \arcsin x$ 的图像吗？它和 $y = \sin x$ 的图像有什么关系？
5. 思考题：计算 $\arcsin(\sin 5)$ 的值，其中 5 是弧度。为什么答案不是 5？
6. 思考题：$\arctan 2 + \arctan 3$ 等于多少？（提示：设 $\alpha = \arctan 2$、$\beta = \arctan 3$，算 $\tan(\alpha + \beta)$，注意判断 $\alpha + \beta$ 的范围。）

高考母题

（2022·北京） 已知函数 $f(x)=cos ^ { 2 } x-sin ^ { 2 } x$ ，则（    ） C． $f(x)$ 在 $\left ( { 0,\frac { π } { 3 } } \right )$ 上单调递减D． $f(x)$ 在 $\left ( { \frac { π } { 4 },\frac { 7π } { 12 } } \right )$ 上单调递增

A．$f(x)$ 在 $\left ( { -\frac { π } { 2 },-\frac { π } { 6 } } \right )$ 上单调递减　　B．$f(x)$ 在 $\left ( { -\frac { π } { 4 },\frac { π } { 12 } } \right )$ 上单调递增

展开详解

答案：C

【分析】化简得出 $f\left ( { x } \right )=cos2x$ ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 因为 $f\left ( { x } \right )=cos ^ { 2 } x-sin ^ { 2 } x=cos2x$ . 对于A选项，当 $-\frac { π } { 2 } < x < -\frac { π } { 6 }$ 时， $-π < 2x < -\frac { π } { 3 }$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -\frac { π } { 2 },-\frac { π } { 6 } } \right )$ 上单调递增，A错； 对于B选项，当 $-\frac { π } { 4 } < x < \frac { π } { 12 }$ 时， $-\frac { π } { 2 } < 2x < \frac { π } { 6 }$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -\frac { π } { 4 },\frac { π } { 12 } } \right )$ 上不单调，B错； 对于C选项，当 $0 < x < \frac { π } { 3 }$ 时， $0 < 2x < \frac { 2π } { 3 }$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { 0,\frac { π } { 3 } } \right )$ 上单调递减，C对； 对于D选项，当 $\frac { π } { 4 } < x < \frac { 7π } { 12 }$ 时， $\frac { π } { 2 } < 2x < \frac { 7π } { 6 }$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { \frac { π } { 4 },\frac { 7π } { 12 } } \right )$ 上不单调，D错. 故选：C.

一句话总结

反三角函数是"已知函数值求角度"的工具——arcsin 给出 [-π/2, π/2] 范围内的角，arccos 给出 [0, π] 范围内的角；而值域之所以是那几个区间，是因为只有单调的一段才可反解。