第12讲 解三角形的应用——面积与最值

面积的多种表达

三角形面积有多种表达方式，选择合适的形式能简化大量计算：

公式一：底×高÷2

$$S = \frac{1}{2}ah$$

这是最基本的公式，但需要知道底和对应的高。

公式二：两边夹角

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$

当知道两边和夹角时，这个公式最直接。它是正弦定理的重要推论。

公式三：海伦公式

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

其中 $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ 是半周长。当知道三边时，这个公式不需要角度，直接算面积。

公式四：外接圆半径

$$S = \frac{abc}{4R}$$

当知道三边和外接圆半径时，这个公式最方便。

公式五：内切圆半径

$$S = rs$$

其中 $r$ 是内切圆半径，$s$ 是半周长。

五种面积公式的选择

做题时，选哪种公式取决于已知条件：

已知条件	推荐公式
底和高	公式一
两边+夹角	公式二
三边	公式三（海伦）或先求角再用公式二
三边+外接圆半径	公式四
内切圆半径+半周长	公式五

三角形中的最值问题

解三角形结合最值问题是高考热点。常见类型：

类型一：已知两角，求面积最大值

已知 $A, B$（或 $A, a$），求 $S$ 的最大值。

思路：用正弦定理把面积表示成一个变量的函数，然后求最值。

例如：已知 $a = 2, A = 60°$，求 $S$ 的最大值。

由正弦定理：$b = \dfrac{2\sin B}{\sin 60°},\ c = \dfrac{2\sin C}{\sin 60°}$。

$$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sin B \sin C}{\sin^2 60°} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

利用 $B + C = 120°$，可以进一步化简求最值。

类型二：已知两边，求面积最大值

已知 $b, c$，求 $S$ 的最大值。

$$S = \frac{1}{2}bc\sin A \le \frac{1}{2}bc$$

当且仅当 $\sin A = 1$，即 $A = 90°$ 时取等号。

所以当夹角为直角时面积最大。

类型三：三角形中的不等式

这类题通常要求证明某个不等式，或者求某个量的取值范围。

常见技巧：

• 用正弦定理把所有边换成角的正弦
• 用余弦定理建立边与角的关系
• 利用三角形内角和 $A + B + C = \pi$
• 用基本不等式或三角函数的有界性

一个经典综合题

在 △ABC 中，$a + b = 10$，$C = 60°$，求 △ABC 面积的最大值。

思路：用余弦定理把 $c$ 表示出来，再用面积公式。

由余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 60° = a^2 + b^2 - ab$。

而 $a + b = 10$，所以 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 100 - 2ab$。

$$c^2 = 100 - 3ab$$

面积 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{4}ab$。

要让 $S$ 最大，就要让 $ab$ 最大。由 $a + b = 10$，$ab$ 在 $a = b = 5$ 时最大，最大值为 25。

所以 $S_{\max} = \dfrac{25\sqrt{3}}{4}$。

在高中数学体系里的位置

三角形面积和最值是解三角形的综合应用，难度高于单纯的正弦定理或余弦定理计算题。

这类题的关键不是某个具体公式，而是多工具组合——正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式，哪个顺手用哪个。

思考与拓展

1. 已知三角形的周长为 12，求面积的最大值。（提示：海伦公式 + 基本不等式）
2. 在 △ABC 中，$\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$，求最大角的余弦值。
3. 你能用面积公式证明：在同一个三角形中，大边对大角吗？
4. 已知三角形三边为连续三个正整数，且最大角是最小角的两倍，求这个三角形的面积。

一句话总结

三角形面积有五种表达方式，选择哪种取决于已知条件。最值问题的核心是把目标量表示成一个变量（或两个有约束的变量）的函数。