解三角形的应用——面积与最值

从一个问题开始

前面两讲给了正弦定理和余弦定理。但工具本身不是目的——解三角形的终点是回答问题：这块地多大？这条路最短是多少？在约束条件下最多能围出多少面积？

这一讲把前面的工具组装起来。

示意图

面积的多种表达

三角形面积有多种表达方式，选择合适的形式能简化大量计算：

公式一：底×高÷2

$$S = \frac{1}{2}ah$$

这是最基本的公式，但需要知道底和对应的高。

公式二：两边夹角

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$

当知道两边和夹角时，这个公式最直接。它是正弦定理的重要推论。

它为什么成立？ 以 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ 为例：把 $b$ 当底，则对应的高是 $a\sin C$（$a$ 边绕 $C$ 旋转时在对边的投影），代入公式一即得。

公式三：海伦公式

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

其中 $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ 是半周长。当知道三边时，这个公式不需要角度，直接算面积。

它的来历：把余弦定理的求角公式代入公式二，再用三角恒等式化简，可以得到这个只含边长的形式。推导繁琐但结果干净。

公式四：外接圆半径

$$S = \frac{abc}{4R}$$

当知道三边和外接圆半径时，这个公式最方便。

来历：由正弦定理 $c = 2R\sin C$ 得 $\sin C = \dfrac{c}{2R}$，代入 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ 即得。

公式五：内切圆半径

$$S = rs$$

其中 $r$ 是内切圆半径，$s$ 是半周长。

来历：把内心和三个顶点连起来，把三角形分成三个小三角形，高都是 $r$，底分别是 $a, b, c$，面积加起来：

$$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs$$

五个公式是等价的——用同一个三角形（3-4-5）验证：

公式	计算	结果
公式一	$\dfrac{1}{2} \times 4 \times 3$	6.000000
公式二	$\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 90°$	6.000000
公式三（海伦）	$\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$	6.000000
公式四	$\dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 2.5}$	6.000000
公式五	$1.0 \times 6$	6.000000

五个公式给出同一个数。 但计算路径不同——题目给你什么，就挑那条路最短的。

五种面积公式的选择

做题时，选哪种公式取决于已知条件：

已知条件	推荐公式
底和高	公式一
两边+夹角	公式二
三边	公式三（海伦）或先求角再用公式二
三边+外接圆半径	公式四
内切圆半径+半周长	公式五

一个隐藏规律：公式二最通用，但如果题目给的全是边长、一个角都没给，公式二用不上（没有 $\sin$ 可算），只能走海伦公式。选择公式的第一原则不是"哪个简单"，是"哪个能用"。

三角形中的最值问题

解三角形结合最值问题是高考热点。常见类型：

类型一：已知两边，求面积最大值

已知 $b, c$，求 $S$ 的最大值。

$$S = \frac{1}{2}bc\sin A \le \frac{1}{2}bc$$

当且仅当 $\sin A = 1$，即 $A = 90°$ 时取等号。

规律：夹角为直角时面积最大。 直观解释——固定两条边的长度，让夹角张开，张到 $90°$ 时"张得最开"，再张大就开始收回来了。

类型二：已知两边之和，求面积最大值

已知 $a + b = L$ 和夹角 $C$，求 $S$ 的最大值。

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C$$

要让 $S$ 最大，就要让 $ab$ 最大。由基本不等式 $ab \le \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$，当 $a = b = \dfrac{L}{2}$ 时 $ab$ 取最大值。

规律：两边相等（等腰）时面积最大。 因为夹角 $C$ 已经固定，唯一能变的就是 $ab$，而 $a+b$ 固定时等腰让 $ab$ 最大。

类型三：已知一边和对角，求面积最大值

已知 $a$ 和 $A$。由正弦定理：

$$b = \frac{a\sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a\sin C}{\sin A}$$

代入面积公式：

$$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$$

其中 $B + C = \pi - A$ 固定。要使 $\sin B\sin C$ 最大，需要 $B = C$（积化和差后可证）。

规律：另外两角相等（等腰）时面积最大。

三条规律的统一

上面三种情形，答案分别是「直角」「等腰」「等腰」。有没有统一的说法？

有：在约束条件下，让三角形尽量"对称"。

• 固定两边 → 夹角对称张开到 $90°$ 最开
• 固定两边和 → 两边等长最对称
• 固定一边一角 → 两角相等最对称

这不是巧合。 最值问题里，"对称"往往是极值点——基本不等式取等号在相等时，三角函数的积在和固定时在相等时。看到最值问题，先想"什么情况下取等号"。

一个经典综合题

在 △ABC 中，$a + b = 10$，$C = 60°$，求 △ABC 面积的最大值。

第一步，写面积公式。

$$S = \frac{1}{2}ab\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{4}ab$$

第二步，转成单变量问题。

要让 $S$ 最大，就要让 $ab$ 最大。已知 $a + b = 10$，由基本不等式：

$$ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = 25$$

当 $a = b = 5$ 时取等号。

第三步，算最大值。

$$S_{\max} = \frac{\sqrt3}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt3}{4}$$

验算这个三角形长什么样。 $a = b = 5$、$C = 60°$，由余弦定理：

$$c^2 = 25 + 25 - 2 \times 25 \times \frac{1}{2} = 25$$

所以 $c = 5$——这是个等边三角形。 用等边面积公式验证：

$$S = \frac{\sqrt3}{4} \times 5^2 = \frac{25\sqrt3}{4}$$

两条路都对。

原稿在这题里先推了 $c^2 = 100 - 3ab$ 却没用它——那是多余的步骤。直接写 $S = \dfrac{\sqrt3}{4}ab$ 再套基本不等式，三步就走完了。

在高中数学体系里的位置

三角形面积和最值是解三角形的综合应用，难度高于单纯的正弦定理或余弦定理计算题。

这类题的关键不是某个具体公式，而是多工具组合——正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式，哪个顺手用哪个。

考试中的三个层次：

1. 基础：选对面积公式，代数字算出来
2. 中档：把面积写成一个变量的函数，用不等式或三角函数有界性求最值
3. 高档：约束条件藏在边角关系里，要先转化才能看出"该让谁相等"

第 3 层考的不是计算，是看出对称性的眼力。

思考与拓展

1. 已知三角形的周长为 12，求面积的最大值。（提示：海伦公式 + 基本不等式，$s = 6$ 固定，让 $(6-a)(6-b)(6-c)$ 最大。）
2. 在 △ABC 中，$\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$，求最大角的余弦值。
3. 你能用面积公式证明：在同一个三角形中，大边对大角吗？
4. 已知三角形三边为连续三个正整数，且最大角是最小角的两倍，求这个三角形的面积。（提示：第 10、11 讲已经知道三边是 4, 5, 6。）
5. 思考题：已知 $a = 2, A = 60°$，把这个条件完整地做一遍（用正弦定理把 $b, c$ 表示出来，再用 $B + C = 120°$ 化简），验证答案是不是"等腰时最大"。
6. 思考题：为什么说最值问题的关键不是公式，而是"看出什么情况下取等号"？举一个非几何的例子说明。

高考母题

（2025·北京） 设函数 $f\left ( { x } \right )=sinωx+cosωx(ω>0)$ ，若 $f(x+{ \pi })=f(x)$ 恒成立，且 $f(x)$ 在 $\left[ 0,\frac { { \pi } } { 4 } \right]$ 上存在零点，则 $ω$ 的最小值为（   ）

A．8　　B．6　　C．4　　D．3

展开详解

答案：C

【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 函数 $f\left ( { x } \right )=sinωx+cosωx=\sqrt{ 2 }sin\left ( { ωx+\frac { { \pi } } { 4 } } \right )(ω>0)$ ， 设函数 $f(x)$ 的最小正周期为T，由 $f(x+{ \pi })=f(x)$ 可得 $kT={ \pi }{ , }\left ( { k∈{ N } ^ { * } } \right )$ ， 所以 $T=\frac { 2{ \pi } } { ω }=\frac { { \pi } } { k },\left ( { k∈{ N } ^ { * } } \right )$ ，即 $ω=2k,\left ( { k∈{ N } ^ { * } } \right )$ ； 又函数 $f(x)$ 在 $\left[ 0,\frac { { \pi } } { 4 } \right]$ 上存在零点，且当 $x∈\left[ 0,\frac { { \pi } } { 4 } \right]$ 时， $ωx+\frac { { \pi } } { 4 }∈\left[ \frac { { \pi } } { 4 },\frac { { \pi }ω } { 4 }+\frac { { \pi } } { 4 } \right]$ ， 所以 $\frac { { \pi }ω } { 4 }+\frac { { \pi } } { 4 }≥{ \pi }$ ，即 $ω≥{ 3 }$ ； 综上， $ω$ 的最小值为4. 故选：C.

一句话总结

三角形面积有五种表达方式，选择哪种取决于已知条件；而最值问题的核心是——在约束下让三角形尽量对称，因为取等号总发生在相等时。