解三角形——余弦定理

从勾股定理出发

初中你就见过勾股定理：直角三角形中，$c^2 = a^2 + b^2$。

但世界上的三角形大多不是直角。非直角三角形里，三边的关系是什么？

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

这就是余弦定理。

把它和勾股定理并排放，一眼就能看出结构：

$$\text{勾股定理} \quad c^2 = a^2 + b^2$$ $$\text{余弦定理} \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

差别只在后面那一项 $-2ab\cos C$。当 $C = 90°$，$\cos C = 0$，修正项消失，余弦定理退回勾股定理。

所以余弦定理不是新东西，是勾股定理加了一个修正项。 修正项的大小取决于夹角 $C$：$C$ 越小，$\cos C$ 越接近 1，减去的越多；$C$ 越大，修正项越小。

这个修正项还带着一个直观的符号规律：

• $C < 90°$（锐角）：$\cos C > 0$，修正项为负，$c^2 < a^2 + b^2$
• $C = 90°$：$c^2 = a^2 + b^2$
• $C > 90°$（钝角）：$\cos C < 0$，修正项为正，$c^2 > a^2 + b^2$

最后一条就是判断钝角三角形的代数依据——不需要算角，看边长关系就能定性。

示意图

修正项是怎么来的

原稿在这里列了一串推导，但变量名跨度过大——从 $a^2$ 出发却推出 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，中间 $A$ 变 $C$、$a$ 变 $c$，学生看到后面已经糊涂。

重写一遍，全程只用一套变量，不换边不换角。

目标：求证 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$。

作法：从顶点 $C$ 向边 $AB$ 作高，垂足为 $D$。

三边分别记作 $a = BC$、$b = CA$、$c = AB$，角 $A$ 在顶点 $A$ 处。

在直角三角形 $ACD$ 中，斜边是 $AC = b$，角 $A$ 在顶点 $A$：

$$AD = b\cos A, \qquad CD = b\sin A$$

在直角三角形 $BCD$ 中，$D$ 落在 $AB$ 上：

$$BD = AB - AD = c - b\cos A$$

而 $BC = a$ 正是直角三角形 $BCD$ 的斜边：

$$a^2 = BD^2 + CD^2$$

代入：

$$a^2 = (c - b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$$

展开：

$$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A$$

合并后两项（$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$）：

$$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2(\cos^2 A + \sin^2 A)$$ $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

证完。全程只用 $a, b, c, A$ 四个符号，没有换过一次。

数值验证

取 $a = 6, b = 5, c = 4$，则

$$A = 82.8192°, \quad B = 55.7711°, \quad C = 41.4096°$$

作高：$AD = b\cos A = 0.625000$，$CD = b\sin A = 4.960784$，$BD = c - AD = 3.375000$。

代入右边：

$$BD^2 + CD^2 = 3.375^2 + 4.960784^2 = 36.000000$$

而 $a^2 = 6^2 = 36$。两边精确相等。

情况二：垂足 D 落在 AB 延长线上（A 是钝角）

此时 $D$ 在 $AB$ 的反向延长线上，有 $BD = c + AD'$（$AD'$ 是 $A$ 到垂足的有向距离）。

代入同样的式子 $a^2 = BD^2 + CD^2$：

$$a^2 = (c - b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$$

展开过程与情况一完全相同，得到同一个结果。所以钝角时公式依然成立。

（钝角时 $\cos A < 0$，所以 $- b\cos A$ 实际是「加」，括号里变成 $c + |b\cos A|$，与几何图形一致。）

余弦定理的公式

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

三个公式是对称的，轮换 $a, b, c$ 和 $A, B, C$ 即可得到另一个。

记法：任一边的平方 = 另两边的平方和 − 2·另两边之积·夹角余弦。一句话：「夹角的余弦，夹两边的积」。

推论——求角公式

由余弦定理变形，可以得到求角的公式：

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

这三个公式特别有用——已知三边求三个角，直接用。

注意这里的符号方向：分子是"另两边平方和 − 所求角的对边平方」。对边越大，分子越小，角越大。这跟几何直觉一致。

能用余弦定理解决的问题

类型一：已知两边和夹角，求第三边（SAS）

已知 $b, c, A$，求 $a$：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

开方得 $a$（取正值）。这是余弦定理最直接的应用。

类型二：已知三边，求三个角（SSS）

已知 $a, b, c$，求 $A, B, C$：

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

算出 $\cos A$ 后，用反余弦得到 $A$。同理求 $B, C$。

为什么余弦定理能解 SSS 而正弦定理不能？ 正弦定理至少要有一个已知角才能用。三边给的全是边、没有角，正弦定理一步也推不动。余弦定理是 SSS 的唯一入口。

类型三：判断三角形的形状

已知边的关系或角的关系，判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。

方法：用余弦定理求最大角的余弦值。

• $\cos A > 0$ → 锐角三角形
• $\cos A = 0$ → 直角三角形
• $\cos A < 0$ → 钝角三角形

几个例子：

三边	最大角余弦	类型
3, 4, 5	0	直角
4, 5, 6	1/8 > 0	锐角
5, 5, 6	0.28 > 0	锐角

一个例子：把第 10 讲的题直接算出来

第 10 讲用正弦定理解了「三边等差 + 最大角是最小角两倍」，推出 $\cos A = \dfrac{3}{4}$，三边比 $\sin A : \sin B : \sin C = \dfrac{\sqrt7}{4} : \dfrac{5\sqrt7}{16} : \dfrac{3\sqrt7}{8}$。

这个比例乘以 $\dfrac{16}{\sqrt7}$ 是多少？

$$\frac{\sqrt7}{4} \times \frac{16}{\sqrt7} = 4, \qquad \frac{5\sqrt7}{16} \times \frac{16}{\sqrt7} = 5, \qquad \frac{3\sqrt7}{8} \times \frac{16}{\sqrt7} = 6$$

三边就是 $4 : 5 : 6$。 三个连续正整数，等差条件自动满足。

用余弦定理反算验证：取 $a = 4, b = 5, c = 6$，则

$$\cos A = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \times 5 \times 6} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$ $$\cos B = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \times 4 \times 6} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$$ $$\cos C = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \times 4 \times 5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$$

反算角：

$$A \approx 41.41°, \quad B \approx 55.77°, \quad C \approx 82.82°$$ $$\frac{C}{A} \approx 2.0000 \quad \text{（精确为 2）}$$

这个例子的价值：第 10 讲的公式解（$\cos A = \dfrac{3}{4}$）和第 11 讲的代数计算（边长 4,5,6）在这里对上了一个具体的三角形。两个定理不是两套工具，是同一件事的两种语言。

正弦定理 vs 余弦定理

	正弦定理	余弦定理
形式	边角成比例	边角满足余弦关系
适用	已知两角一边、已知两边对角	已知两边夹角、已知三边
模糊情况	有（SSA 可能两解）	无（唯一确定）
与圆的关系	涉及外接圆	不直接涉及

为什么余弦定理没有模糊情况？ 因为它给出的是「边长的平方」——一个非负数。开方取正，边长唯一确定。正弦定理给的是角的正弦，而同一个正弦值对应两个角，所以有歧义。

选择口诀：给了两个角 → 正弦定理；给了三边 → 余弦定理；给了两边夹一角 → 余弦定理；给了两边和一边的对角 → 正弦定理，但小心两解。

两者常常配合使用——先用一个定理求出一个元素，再用另一个求出其余的。

在高中数学体系里的位置

余弦定理是解三角形的另一把钥匙。正弦定理擅长处理"角-边比例"问题，余弦定理擅长处理"边角混用"问题。两者互补。

高考中，正弦定理和余弦定理通常出现在同一道题中——第一问用正弦定理，第二问用余弦定理。单独考查的可能性较小。

余弦定理的地位比正弦定理更底层：它是勾股定理的直接推广，而勾股定理是整个平面几何的基石。可以说，余弦定理是连接"度量」和「形状」的那把尺。

思考与拓展

1. 在 △ABC 中，$a = 7, b = 8, c = 5$，求最大角的度数。（提示：最大角对最大边。）
2. 已知三角形的三边长是连续的三个正整数，且最大角是最小角的两倍，求这三条边的长度。（提示：答案在第 10 讲出现过，试试用余弦定理反算。）
3. 你能从余弦定理推导出正弦定理吗？（提示：用面积公式 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$，并结合 $c = 2R\sin C$。）
4. 如果三角形的三边满足 $a^2 + b^2 < c^2$，这个三角形是什么类型的？为什么？
5. 思考题：钝角情况下，垂足落在三角形外，为什么最后得到的公式和锐角情况完全一样？（提示：注意 $\cos A$ 在钝角时为负，$a - c\cos A$ 其实是「加」。）
6. 思考题：用余弦定理证明：三角形的三条中线平方和等于三边平方和的四分之三。（这是经典难题，提示：用中线公式 $m_a^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$。）

高考母题

（2024·全国甲卷） 函数 $f\left ( { x } \right )=sinx-\sqrt{ 3 }cosx$ 在 $\left[ 0,{ \pi } \right]$ 上的最大值是______．

展开详解

2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. $f\left ( { x } \right )=sinx-\sqrt{ 3 }cosx=2sin\left ( { x-\frac { { \pi } } { 3 } } \right )$ ，当 $x∈\left[ 0,{ \pi } \right]$ 时， $x-\frac { { \pi } } { 3 }∈\left[ -\frac { { \pi } } { 3 },\frac { 2{ \pi } } { 3 } \right]$ ， 当 $x-\frac { { \pi } } { 3 }=\frac { { \pi } } { 2 }$ 时，即 $x=\frac { { 5 }{ \pi } } { 6 }$ 时， $f\left ( { x } \right )_{ max } =2$ . 故答案为：2

一句话总结

余弦定理是勾股定理的推广——加上一个修正项 $-2ab\cos C$，就能处理任意三角形；而这个修正项不是凑出来的，是把高投下去、用平方关系展开 $(a - c\cos A)^2$ 自然长出来的。