第11讲 解三角形——余弦定理

余弦定理的几何直觉

余弦定理本质上是勾股定理的推广。

勾股定理说：直角三角形中，$c^2 = a^2 + b^2$。

余弦定理说：任意三角形中，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。

当 $C = 90°$ 时，$\cos C = 0$，余弦定理就退化为勾股定理。所以余弦定理就是"带修正项的勾股定理"——修正项是 $-2ab\cos C$。

为什么是这个修正项？

画一个三角形 ABC，从顶点 C 向边 AB 作高 CD。

在直角三角形 ACD 中，$AD = b\cos A$，$CD = b\sin A$。

在直角三角形 BCD 中：

$$a^2 = BD^2 + CD^2 = (c - b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$$ $$= c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A$$ $$= c^2 - 2bc\cos A + b^2$$

整理得：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。

余弦定理的公式

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

三个公式是对称的，轮换 a、b、c 和 A、B、C 即可得到另一个。

推论——求角公式

由余弦定理变形，可以得到求角的公式：

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

这三个公式特别有用——已知三边求三个角，直接用。

能用余弦定理解决的问题

类型一：已知两边和夹角，求第三边（SAS）

已知 $b, c, A$，求 $a$：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

开方得 $a$（取正值）。这是余弦定理最直接的应用。

类型二：已知三边，求三个角（SSS）

已知 $a, b, c$，求 $A, B, C$：

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

算出 $\cos A$ 后，用反余弦得到 $A$。同理求 $B, C$。

类型三：判断三角形的形状

已知边的关系或角的关系，判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。

方法：用余弦定理求最大角的余弦值。

• $\cos A > 0$ → 锐角三角形
• $\cos A = 0$ → 直角三角形
• $\cos A < 0$ → 钝角三角形

正弦定理 vs 余弦定理

	正弦定理	余弦定理
形式	边角成比例	边角满足余弦关系
适用	已知两角一边、已知两边对角	已知两边夹角、已知三边
模糊情况	有（SSA 可能两解）	无（唯一确定）
与圆的关系	涉及外接圆	不直接涉及

两者常常配合使用——先用一个定理求出一个元素，再用另一个求出其余的。

在高中数学体系里的位置

余弦定理是解三角形的另一把钥匙。正弦定理擅长处理"角-边比例"问题，余弦定理擅长处理"边角混用"问题。两者互补。

高考中，正弦定理和余弦定理通常出现在同一道题中——第一问用正弦定理，第二问用余弦定理。单独考查的可能性较小。

思考与拓展

1. 在 △ABC 中，$a = 7, b = 8, c = 5$，求最大角的度数。
2. 已知三角形的三边长是连续的三个正整数，且最大角是最小角的两倍，求这三条边的长度。
3. 你能从余弦定理推导出正弦定理吗？（提示：用面积公式 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$）
4. 如果三角形的三边满足 $a^2 + b^2 < c^2$，这个三角形是什么类型的？为什么？

一句话总结

余弦定理是勾股定理的推广——加上一个修正项 $-2ab\cos C$，就能处理任意三角形。