解三角形——正弦定理

从测量说起

古代的人怎么测一座山的高度？怎么测河流的宽度？他们不会飞上去量，也不会游过去量。

他们的办法是：在岸边选两个点，测量这两点之间的距离，然后分别测量两个点对山顶的角度。有了这些信息，就能算出山的高度。

这就是解三角形——已知三角形的某些元素，求出其余的元素。

解三角形为什么可能？ 因为三角形的六个元素（三边三角）不是独立的——内角和 180° 拿走了一个自由度，剩下五个里只要知道三个，另外两个就定了。正弦定理和余弦定理，就是把这些约束写成代数关系的工具。

示意图

正弦定理

在任意三角形 ABC 中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于外接圆直径。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

其中 $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，$R$ 是三角形外接圆的半径。

为什么等于 2R？

这是正弦定理最该讲清的部分。原稿在这里用了一句"由正弦定理的推广（或直接计算）」——那是循环论证。

正确的推导走圆周角定理。

作三角形 $ABC$ 的外接圆，连接圆心 $O$ 和顶点 $B$、$C$。因为 $\angle BOC$ 是圆心角、$\angle A$ 是同弧 $BC$ 上的圆周角，所以

$$\angle BOC = 2A$$

（这里默认 $A$ 是锐角；$A$ 是钝角时取 reflex 角，结论不变。）

在等腰三角形 $OBC$ 中，$OB = OC = R$，顶角 $\angle BOC = 2A$。从 $O$ 向 $BC$ 作垂线，垂足为 $M$，则 $M$ 是 $BC$ 中点，且

$$BM = R\sin A$$

所以

$$a = BC = 2BM = 2R\sin A$$

移项即得 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$。

换个基准就得到另外两个比值——同样做法可得 $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$、$\dfrac{c}{\sin C} = 2R$。三者相等，因为它们共同等于同一个外接圆直径。这就是"公共量 2R"的来历。

关键的一点：$A$ 换成钝角时，$\angle BOC$ 取的是大于 180° 的 reflex 角，此时 $\sin$ 值仍然一致（$\sin(2A)$ 与 $\sin(360° - 2A)$ 互补），所以公式对钝角三角形同样成立。

数值验证

取 $R = 3$ 的圆，任作内接三角形：

$A$	$a = 2R\sin A$	$a/\sin A$
$30°$	3.0000	6.0000
$45°$	4.2426	6.0000
$60°$	5.1962	6.0000
$90°$	6.0000	6.0000

比值恒为 6.0000 = 2R，一角一换、比值不变。 这就是公式的力量。

正弦定理的三种形式

1. 边化角：$a = 2R\sin A,\ b = 2R\sin B,\ c = 2R\sin C$
2. 角化边：$\sin A = \dfrac{a}{2R},\ \sin B = \dfrac{b}{2R},\ \sin C = \dfrac{c}{2R}$
3. 比例形式：$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

第三种形式最值得注意：边长之比直接等于对角正弦之比。这一条把"边」的问题翻译成「角」的问题，是正弦定理最好用的变形。

能用正弦定理解决的问题

类型一：已知两角和一边（AAS 或 ASA）

这是最直接的用法。知道两个角，第三个角由内角和 $180°$ 确定。再用正弦定理求边。

为什么不用余弦定理？ 余弦定理要求至少知道一条边和它两端的角（SAS）或三条边（SSS）。AAS/ASA 只有一条边，余弦定理用不上，正弦定理是唯一选择。

类型二：已知两边和其中一边的对角（SSA）——模糊情况

这是正弦定理最经典也最复杂的应用。

已知 $a, b, A$，求 $B$：

$$\sin B = \frac{b\sin A}{a}$$

但这里有个陷阱：$\sin B$ 确定了，但 $B$ 不一定唯一——因为在 $(0, \pi)$ 范围内，同一个正弦值可能对应两个角（一个锐角，一个钝角）。

用例子看清楚。 已知 $a = 5, b = 7, A = 30°$：

$$\sin B = \frac{7 \times \sin 30°}{5} = \frac{7 \times 0.5}{5} = 0.7$$

于是

$$B_1 = \arcsin 0.7 \approx 44.43°$$ $$B_2 = 180° - 44.43° = 135.57°$$

两个解都合法吗？ 检查内角和：

$$C_1 = 180° - 30° - 44.43° = 105.57° > 0 \quad \text{合法}$$ $$C_2 = 180° - 30° - 135.57° = 14.43° > 0 \quad \text{合法}$$

两个解都成立。 同一个 $a = 5, b = 7, A = 30°$ 下，三角形有两种可能。这就是"模糊"的含义。

解的个数判断：

• 如果 $a < b\sin A$：无解（$b$ 太高，构不出三角形）
• 如果 $a = b\sin A$：一解（直角三角形）
• 如果 $b\sin A < a < b$：两解
• 如果 $a \ge b$：一解（$A \ge B$，$B$ 只能是锐角）

本例中 $b\sin A = 3.5$，而 $3.5 < 5 < 7$，落在"两解」区间。

面积公式

正弦定理还有一个重要的推论——三角形面积公式：

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$

这个公式告诉我们：三角形的面积等于两边乘积的一半，再乘以夹角的正弦。

当你知道两边和夹角时，用这个公式求面积最直接。

外接圆面积公式

由正弦定理 $a = 2R\sin A$，可以得到：

$$S = \frac{abc}{4R}$$

验证（$3-4-5$ 直角三角形）：$S = 6$，$R = \dfrac{5}{2} = 2.5$（直角三角形外接圆半径是斜边的一半），代入

$$\frac{abc}{4R} = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 2.5} = \frac{60}{10} = 6$$

对上了。这个公式本身是正弦定理和面积公式的合体，已知三边和外接圆半径时直接出面积。

一个经典例子：三边等差 + 最大角是最小角的两倍

这是高考反复出现的题型。用正弦定理可以解出封闭形式——不需要近似。

设三个角为 $A < B < C$，且 $C = 2A$，则 $B = 180° - 3A$。

由正弦定理，三边正比于对角的正弦：

$$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = \sin A : \sin 3A : \sin 2A$$

等差条件：三边成等差，即中间边是另外两边的算术中项：

$$\sin 3A = \frac{\sin A + \sin 2A}{2}$$

展开 $\sin 3A = \sin A(3 - 4\sin^2 A)$，代入并除以 $\sin A > 0$：

$$3 - 4\sin^2 A = \frac{1 + 2\cos A}{2}$$

（这里用了 $\sin 2A = 2\sin A \cos A$。）

整理：

$$6 - 8\sin^2 A = 1 + 2\cos A$$

用 $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$：

$$6 - 8(1 - \cos^2 A) = 1 + 2\cos A$$ $$8\cos^2 A - 2\cos A - 3 = 0$$

解得

$$\cos A = \frac{3}{4}$$

（舍去负根 $\cos A = -\dfrac{1}{2}$，因为 $A$ 若为 $120°$ 则 $3A > 180°$，不构成三角形。）

于是：

$$\sin A = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ $$\sin 2A = 2\sin A\cos A = 2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$$ $$\sin 3A = \sin A(3 - 4\sin^2 A) = \frac{\sqrt{7}}{4}\left(3 - \frac{7}{4}\right) = \frac{5\sqrt{7}}{16}$$

验证等差：$\sin A + \sin 2A = \dfrac{\sqrt7}{4} + \dfrac{3\sqrt7}{8} = \dfrac{5\sqrt7}{8}$，而 $2\sin 3A = 2 \times \dfrac{5\sqrt7}{16} = \dfrac{5\sqrt7}{8}$。两边相等 ✓

三个角的数值：

$$A \approx 41.41°, \quad B \approx 55.77°, \quad C \approx 82.82°$$

验算 $C/A \approx 2.0000$（精确为 2），内角和 $= 180°$。

这道题的价值：它展示了正弦定理的完整用法——先用角的约束（$C = 2A$）化简边的关系，再反解唯一的角。没有数值近似，答案是一个精确的 $\cos A = \dfrac{3}{4}$。

在高中数学体系里的位置

正弦定理是解三角形的核心工具，也是高考的必考内容。

从考试难度来看：

• 基础题：直接套公式，已知两角一边或两边一角
• 中档题：需要判断解的个数、结合面积公式
• 综合题：和余弦定理结合，或者和向量、函数最值结合

正弦定理的关键是理解它的几何本质——边角通过外接圆半径联系起来了。记住了 $2R$ 这个公共量，所有的边角互化问题都能迎刃而解。

和余弦定理的分工：正弦定理管「角和边」的关系（$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$），余弦定理管「边和边」的关系（$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$）。前者不需要已知长度信息就能用，后者反过来。解三角形时先看题目给了什么，再选工具。

思考与拓展

1. 在 $\triangle ABC$ 中，$a = 5, b = 7, A = 30°$，求 $B$ 和 $C$。有几组解？并画图说明为什么会有两解。
2. 证明：三角形的外接圆半径 $R = \dfrac{abc}{4S}$，其中 $S$ 是三角形面积。（提示：先用正弦定理把 $a$ 换成 $2R\sin A$，再代入面积公式。）
3. 如果一个三角形的三边成等差数列，且最大角是最小角的两倍，求这个三角形的三个角。（提示：设 $C = 2A$，用 $\sin 3A = \sin A(3 - 4\sin^2 A)$。）
4. 你能用正弦定理推导出海伦公式吗？（海伦公式：$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s = \dfrac{a+b+c}{2}$）
5. 思考题：为什么 $a = b\sin A$ 时是「一解」？从几何上解释这个临界状态。
6. 思考题：若把正弦定理中的 $2R$ 记成 $k$，当三角形退化成一条线段时，$k$ 等于多少？这说明了什么？

高考母题

（2021·新高考全国I卷） 若 $tanθ=-2$ ，则 $\frac { sinθ\left ( { 1+sin2θ } \right ) } { sinθ+cosθ }=$ （    ）

A．$-\frac { 6 } { 5 }$　　B．$-\frac { 2 } { 5 }$　　C．$\frac { 2 } { 5 }$　　D．$\frac { 6 } { 5 }$

展开详解

答案：C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( $1=sin ^ { 2 } θ+cos ^ { 2 } θ$ )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 $tanθ=-2$ 即可得到结果． 将式子进行齐次化处理得： $\frac { sinθ\left ( { 1+sin2θ } \right ) } { sinθ+cosθ }=\frac { sinθ\left ( { sin ^ { 2 } θ+cos ^ { 2 } θ+2sinθcosθ } \right ) } { sinθ+cosθ }=sinθ\left ( { sinθ+cosθ } \right )$ $=\frac { sinθ\left ( { sinθ+cosθ } \right ) } { sin ^ { 2 } θ+cos ^ { 2 } θ }=\frac { tan ^ { 2 } θ+tanθ } { 1+tan ^ { 2 } θ }=\frac { 4-2 } { 1+4 }=\frac { 2 } { 5 }$ ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用 $tanθ=-2$ ，求出 $sinθ,cosθ$ 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

一句话总结

正弦定理的核心是一个公共量 2R——每条边除以它对角的正弦，都等于同一个数，就是外接圆直径；而这个 2R 不是凑出来的，是圆周角定理的直接推论。