第10讲 解三角形——正弦定理

从测量说起

古代的人怎么测一座山的高度？怎么测河流的宽度？他们不会飞上去量，也不会游过去量。

他们的办法是：在岸边选两个点，测量这两点之间的距离，然后分别测量两个点对山顶的角度。有了这些信息，就能算出山的高度。

这就是解三角形——已知三角形的某些元素，求出其余的元素。

正弦定理

在任意三角形 ABC 中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于外接圆直径。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

其中 $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，$R$ 是三角形外接圆的半径。

为什么等于 2R？

考虑三角形 ABC 的外接圆。连接圆心 O 和顶点 B、C，则 ∠BOC = 2A（圆心角是圆周角的两倍）。

在等腰三角形 OBC 中，底边 BC = a，顶角 ∠BOC = 2A，腰长 = R。

由正弦定理的推广（或直接计算）：$a = 2R\sin A$，所以 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$。

正弦定理的三种形式

1. 边角互化（边化角）：$a = 2R\sin A,\ b = 2R\sin B,\ c = 2R\sin C$
2. 角化边：$\sin A = \dfrac{a}{2R},\ \sin B = \dfrac{b}{2R},\ \sin C = \dfrac{c}{2R}$
3. 比例形式：$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

能用正弦定理解决的问题

类型一：已知两角和一边（AAS 或 ASA）

这是最直接的用法。知道两个角，第三个角由内角和 180° 确定。再用正弦定理求边。

类型二：已知两边和其中一边的对角（SSA）——模糊情况

这是正弦定理最经典也最复杂的应用。

已知 $a, b, A$，求 $B$：

$$\sin B = \frac{b\sin A}{a}$$

但这里有个陷阱：$\sin B$ 确定了，但 $B$ 不一定唯一——因为在 $(0, \pi)$ 范围内，同一个正弦值可能对应两个角（一个锐角，一个钝角）。

解的个数判断：

• 如果 $a < b\sin A$：无解
• 如果 $a = b\sin A$：一解（直角三角形）
• 如果 $b\sin A < a < b$：两解
• 如果 $a \ge b$：一解

面积公式

正弦定理还有一个重要的推论——三角形面积公式：

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$

这个公式告诉我们：三角形的面积等于两边乘积的一半，再乘以夹角的正弦。

当你知道两边和夹角时，用这个公式求面积最直接。

外接圆面积公式

由正弦定理 $a = 2R\sin A$，可以得到：

$$S = \frac{abc}{4R}$$

这个公式在已知三边和外接圆半径时非常有用。

在高中数学体系里的位置

正弦定理是解三角形的核心工具，也是高考的必考内容。

从考试难度来看：

• 基础题：直接套公式，已知两角一边或两边一角
• 中档题：需要判断解的个数、结合面积公式
• 综合题：和余弦定理结合，或者和向量、函数最值结合

正弦定理的关键是理解它的几何本质——边角通过外接圆半径联系起来了。记住了 $2R$ 这个公共量，所有的边角互化问题都能迎刃而解。

思考与拓展

1. 在 △ABC 中，$a = 5, b = 7, A = 30°$，求 $B$ 和 $C$。有几组解？
2. 证明：三角形的外接圆半径 $R = \dfrac{abc}{4S}$，其中 $S$ 是三角形面积。
3. 如果一个三角形的三边成等差数列，且最大角是最小角的两倍，求这个三角形的三个角。
4. 你能用正弦定理推导出海伦公式吗？（海伦公式：$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s = \dfrac{a+b+c}{2}$）

一句话总结

正弦定理的核心是一个公共量 2R——每条边除以它对角的正弦，都等于同一个数，就是外接圆直径。