第8讲 二倍角与半角公式——从和差角自然推导

二倍角公式——和差角的特例

把 β = α 代入和差角公式，直接得到二倍角公式：

正弦二倍角

$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$

余弦二倍角（三种形式）

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$$

利用 sin²α + cos²α = 1，可以变形为：

$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$$

三种形式各有用处：已知 cos α 用第一个变形，已知 sin α 用第二个变形。

正切二倍角

$$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$

半角公式——二倍角的逆运算

令 β = α/2，则 α = 2β。从余弦二倍角公式反推：

$$\cos \alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$$ $$\cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$$

所以：

$$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}, \quad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$$

正号的取舍取决于 α/2 所在的象限。

正切半角公式：

$$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$$

这个形式不含根号，更方便计算。

三个公式的记忆

二倍角：

• sin 2α：2 × sin × cos（记住"双倍正弦 = 2倍积"）
• cos 2α：cos² - sin²（记住"双倍余弦 = 平方差"）
• tan 2α：2t/(1-t²)（记住"双倍正切 = 2t过1减t²"）

半角：

• sin(α/2)：根号下 (1-cos α)/2
• cos(α/2)：根号下 (1+cos α)/2
• 分子永远是 1，分母分别是减 cos 和加 cos

常见应用

降幂公式

把平方项变成一次项：

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \quad \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

这是处理 sin²x 和 cos²x 积分或化简时的关键工具。

三倍角公式

从二倍角 + 和角公式推导：

$$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$$ $$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$$

在高中数学体系里的位置

二倍角和半角公式是三角恒等变换的核心工具，几乎出现在所有三角函数大题中。

高考中，这类公式的考查方式主要有：

1. 直接求值（给角度或三角函数值，求倍角或半角的函数值）
2. 化简求值（化简含倍角/半角的复杂式子）
3. 解三角方程（用倍角公式化为同一次幂的方程）
4. 证明三角恒等式

掌握程度要求：看到 sin²α 就要想到降幂公式，看到 2α 就要想到倍角公式。

思考与拓展

1. 不用计算器，求 sin 15°、cos 15°、tan 15° 的精确值。（提示：15° = 45° - 30° 或 15° = 30°/2）
2. 证明：$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha$。
3. 已知 $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}$，求 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$。
4. 你能从 sin 2α = 2sin α cos α 推导出 tan 2α 的公式吗？

一句话总结

二倍角是把和角公式的 β 换成 α，半角是反过来。记住推导过程，公式不用背。