二倍角与半角公式——从和差角自然推导

从一个问题开始

第 7 讲给了和角公式：

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

现在问一个自然的问题：如果让 $\beta = \alpha$ 会怎样？

会得到一组新公式——二倍角公式。它们不是独立的知识，是和角公式在特殊情况下的样子。把特殊情况单独命名，是因为它们用得足够多，值得一个专门的名字。

示意图

二倍角公式——和差角的特例

把 $\beta = \alpha$ 代入和差角公式，直接得到二倍角公式：

正弦二倍角

$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$

来源：$\sin(\alpha+\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha$，两项相同，合并成 $2\sin\alpha\cos\alpha$。

记住这个形式：两个一次方的乘积，前面加 2。这个「2」不是凑数来的，是「两项相加」的化简结果。

余弦二倍角（三种形式）

最基本的形式：

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$$

利用 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$（第 3 讲的平方关系），可以变形为：

$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$$ $$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$$

三种形式各有用处：已知 $\cos \alpha$ 用第一个变形，已知 $\sin \alpha$ 用第二个变形。

为什么余弦有三种而正弦只有一种？ 因为平方关系提供了 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 这个替换管道：把 $\cos^2 \alpha$ 换成 $1 - \sin^2 \alpha$（或反过来），就能在三种形式间切换。正弦没有对应的等式（没有「$\sin$ 和 $\tan$ 的关系」这类现成替换），所以变形不出来。

选错形式的代价：题目给了 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，你若用 $2\cos^2 \alpha - 1$，还得先算 $\cos \alpha$、定符号、平方——三步。用 $1 - 2\sin^2 \alpha$ 一步到位。

数值验证（$\alpha = 30°$，$\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$，$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$）：

$$\cos 60° = \frac{1}{2}, \qquad 2 \times \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2}, \qquad 1 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

三条路都到 $\dfrac{1}{2}$。

正切二倍角

$$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$

它的陷阱在分母。 当 $1 - \tan^2 \alpha = 0$，即 $\tan \alpha = \pm 1$（也就是 $\alpha = 45° + k \cdot 90°$）时，公式失效。

失效意味着什么？ 不是「算不出来」，是 $\tan 2\alpha$ 本身不存在。以 $\alpha = 45°$ 为例：$\tan 45° = 1$，代入公式分母为 0；而此时 $2\alpha = 90°$，$\tan 90°$ 本来就是无定义的（$\cos 90° = 0$）。公式诚实地反映了这个事实。

反过来说：如果你在一个题目里算出 $\tan 2\alpha =$ 某个很大的数，先检查 $1 - \tan^2 \alpha$ 是不是接近 0——那是分母趋零的信号，不是答案大。

半角公式——二倍角的逆运算

半角公式问的是：知道 $\cos \alpha$，怎么求 $\sin \dfrac{\alpha}{2}$？

推导

把二倍角公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ 里的 $\alpha$ 换成 $\dfrac{\alpha}{2}$：

$$\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$$

移项：

$$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$$

开方：

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$

同理：

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$$

符号是本讲最大的坑

公式里的 $\pm$ 不能省，也不能随手取正。判断依据是 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在的象限，不是 $\alpha$ 的象限。

这一点极容易错。看一个例子：

已知 $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$，求 $\sin \dfrac{\alpha}{2}$。

先算大小：

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

但符号呢？$\cos \alpha > 0$ 说明 $\alpha$ 在第一或第四象限：

• 若 $\alpha$ 在第一象限，$\dfrac{\alpha}{2}$ 在第一或第三象限——取决于 $\alpha$ 大小
• 若 $\alpha$ 在第四象限，$\dfrac{\alpha}{2}$ 在第二或第四象限

只给 $\cos \alpha$ 的值，无法确定 $\dfrac{\alpha}{2}$ 的象限。 必须补充 $\alpha$ 的范围才能定符号。这就是数学里「条件不足」的典型——题目不会无缘无故给范围，给了就一定有用。

正切半角——一个没有符号问题的形式

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$$

这个形式没有 $\pm$。 为什么？因为正切的符号已经被 $\sin \alpha$ 和 $1 + \cos \alpha$ 的比值自动确定了——分子分母同号为正、异号为负，不需要额外判断。

这是三种半角公式里最好用的一个。能用 tan 半角解决的题，不要拆成 sin、cos 两个半角。

万能公式：令 $t = \tan \dfrac{\alpha}{2}$

把上面这个无符号的形式再推一步，就得到所谓「万能公式」：

$$\sin \alpha = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos \alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \tan \alpha = \frac{2t}{1 - t^2}$$

其中 $t = \tan \dfrac{\alpha}{2}$。

它「万能」在哪？ 任何关于 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$ 的式子，代入这三式就变成关于 $t$ 的有理式——可以用代数方法处理。解三角方程、求三角函数有理式的最值，这一招都适用。

验算（取 $t = \dfrac{1}{2}$）：

$$\sin \alpha = \frac{2 \times 1/2}{1 + 1/4} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$$ $$\cos \alpha = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$$

验算：$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$ ✓

它也有适用范围：当 $\alpha = \pi$ 时，$\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2}$，$\tan \dfrac{\pi}{2}$ 不存在，万能公式失效。所以它不是真的「万能」——叫惯了而已。

三个公式的记忆

与其背九个公式，不如记住一条推导链：

$$\text{和角公式} \xrightarrow{\beta = \alpha} \text{二倍角} \xrightarrow{\text{换元} \alpha \to \alpha/2} \text{半角} \xrightarrow{t = \tan(\alpha/2)} \text{万能公式}$$

四步全串起来。中间只需要平方关系（$\sin^2 + \cos^2 = 1$）做替换，不需要额外知识。

记忆的重点是「变形能力」而不是「公式形状」。 考试给分的地方往往不是默写公式，而是在三种 $\cos 2\alpha$ 形式里选对那一个。

常见应用

降幂与升幂

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \qquad \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

从二倍角公式移项直接得到。作用是把「二次」降成「一次」——三角式化简里最常用的一招。

升幂是反着用：把一次写成二次差。用来配方、用来构造平方式。

求值题的标准动作

给一个角的某个函数值，求二倍角的值。步骤固定：

1. 写出二倍角公式的三种形式
2. 根据已知条件挑一个
3. 注意符号（象限定正负）

没有第四步。 这类题全是套路，练的是熟练度。

证明题的方向

证明恒等式时，「从复杂的一边往简单的一边推」是铁律。二倍角、半角公式通常用在把高次降为低次——看到 $\sin^2 \alpha$ 想降幂，看到 $1 \pm \cos \alpha$ 想半角。

在高中数学体系里的位置

二倍角与半角公式是三角恒等变换的主力工具。高考里直接考默写的越来越少，更多的是嵌在解三角形、函数综合题里作为一步化简。

三个层次的要求：

1. 会推——从和角公式推出二倍角，从二倍角推出半角
2. 会选——三种 $\cos 2\alpha$ 形式里挑对的
3. 会判——半角公式的符号必须靠范围定

第 2、3 点是丢分的高发区，比公式本身更值得练。

思考与拓展

1. 基础：已知 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，$\alpha$ 为锐角，求 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$、$\tan 2\alpha$。
2. 变形：已知 $\cos 2\alpha = \dfrac{3}{5}$，求 $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$ 的值。（提示：配方后用降幂公式。）
3. 符号陷阱：已知 $\cos \alpha = \dfrac{1}{3}$，且 $\alpha \in (\pi, 2\pi)$，求 $\sin \dfrac{\alpha}{2}$。为什么这个范围还不足以定符号？
4. 万能公式：用 $t = \tan \dfrac{\alpha}{2}$ 求 $\dfrac{1 + \sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ 的值（用 $t$ 表示）。
5. 失效情形：$\alpha = 45°$ 时 $\tan 2\alpha$ 存在吗？代入公式看看会发生什么，并解释为什么。
6. 思考题：证明 $\dfrac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \tan \dfrac{\alpha}{2}$，并说明这个证明为什么同时给出了半角公式的一种推导。

高考母题

（2024·新课标II卷） （多选）对于函数 $f(x)=sin2x$ 和 $g(x)=sin(2x-\frac { { \pi } } { 4 })$ ，下列说法中正确的有（    ） C． $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的最小正周期D． $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有相同的对称轴

A．$f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的零点　　B．$f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的最大值

展开详解

答案：BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. A选项，令 $f(x)=sin2x=0$ ，解得 $x=\frac { k{ \pi } } { 2 },k∈Z$ ，即为 $f(x)$ 零点， 令 $g(x)=sin(2x-\frac { { \pi } } { 4 })=0$ ，解得 $x=\frac { k{ \pi } } { 2 }+\frac { { \pi } } { 8 },k∈Z$ ，即为 $g(x)$ 零点， 显然 $f(x),g(x)$ 零点不同，A选项错误； B选项，显然 $f(x)_{ max } =g(x)_{ max } =1$ ，B选项正确； C选项，根据周期公式， $f(x),g(x)$ 的周期均为 $\frac { 2{ \pi } } { 2 }={ \pi }$ ，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质 $f(x)$ 的对称轴满足 $2x=k{ \pi }+\frac { { \pi } } { 2 }⇔x=\frac { k{ \pi } } { 2 }+\frac { { \pi } } { 4 },k∈Z$ ， $g(x)$ 的对称轴满足 $2x-\frac { { \pi } } { 4 }=k{ \pi }+\frac { { \pi } } { 2 }⇔x=\frac { k{ \pi } } { 2 }+\frac { 3{ \pi } } { 8 },k∈Z$ ， 显然 $f(x),g(x)$ 图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC

一句话总结

二倍角是和角公式令 β=α 的特例，半角是它的逆运算，万能公式再把半角代数化——一条推导链走下来，九个公式只剩两个动作。