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三角函数 · 第 7 讲 · 2026-09-06 · 约 11 分钟

第7讲 三角恒等变换——和差角公式

sin(A±B) 和 cos(A±B) 是所有三角恒等式的根基。推导不需要死记，从几何出发自然推出。

为什么要学恒等变换

你遇到过这样的题吗？

已知 sin α = 3/5，cos β = 5/13，求 sin(α + β)。

你看了一眼：sin α 和 cos β 都知道，但 α + β 是多少？既不在特殊角表里，也没有直接公式。

解决这类问题的钥匙就是三角恒等变换——把复杂角度的三角函数，转化成简单角度（特殊角）的三角函数。

而这一切的基础，就是和差角公式。

两角和与差的余弦公式

这是整个三角恒等变换中最核心的公式：

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

几何推导

在单位圆上取两个点 A(cos α, sin α) 和 B(cos β, sin β)。

根据两点间距离公式：

∣AB∣2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2|AB|^2 = (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2

展开并整理（利用 sin² + cos² = 1）：

∣AB∣2=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)|AB|^2 = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

另一方面，A 和 B 都在单位圆上，它们之间的圆心角是 |α - β|。由余弦定理：

∣AB∣2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)|AB|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)

比较两个结果：

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

这就是两角差的余弦公式。把 β 换成 -β，就得到两角和的余弦公式。

两角和与差的正弦公式

从余弦公式推导正弦公式，用到诱导公式：

sin⁡(α+β)=cos⁡(π2−(α+β))=cos⁡((π2−α)−β)\sin(\alpha + \beta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right)

用差角余弦公式：

=cos⁡(π2−α)cos⁡β+sin⁡(π2−α)sin⁡β= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos \beta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin \beta =sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

同理可得：

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

两角和与差的正切公式

用正弦除以余弦：

tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}

分子分母同时除以 cos α cos β：

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}

同理：

tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

记忆方法

六个公式（和角、差角各三个），核心就两个：

正弦：交叉相乘，和差相同

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta

余弦：同边相乘，和差相反

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

注意余弦公式里的正负号和角度公式里的正负号相反——这是最容易错的地方。

重要推论

辅助角公式

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)

其中 tan⁡φ=ba\tan \varphi = \dfrac{b}{a}。这个公式把一个正弦加余弦的式子合并成一个正弦，是化简三角式的利器。

积化和差

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)] cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]

和差化积

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

在高中数学体系里的位置

和差角公式是三角恒等变换的基础，后续所有公式（二倍角、半角、辅助角、积化和差……）都可以从它推导出来。

高考中，和差角公式的直接考查相对较少，但它是解题的基础工具。不会推导、不会用的话，后面所有三角恒等变换的题都做不出来。

思考与拓展

  1. 你能从单位圆上直接推导出 sin(α + β) 的公式吗？（提示：用旋转的几何意义）
  2. 证明：sin 75° = (√6 + √2)/4。（提示：75° = 45° + 30°）
  3. 不用计算器，比较 sin 10°、cos 10°、tan 10° 的大小。
  4. 你能用和差角公式证明 sin 3α = 3sin α - 4sin³α 吗？

一句话总结

和差角公式是三角恒等变换的"母公式"——其他所有公式都是从它派生出来的。记住正弦交叉、余弦同边的口诀就够了。

— Y. · 2026-09-06