三角恒等变换——和差角公式

示意图

为什么要学恒等变换

你遇到过这样的题吗？

已知 sin α = 3/5，cos β = 5/13，求 sin(α + β)。

你看了一眼：sin α 和 cos β 都知道，但 α + β 是多少？既不在特殊角表里，也没有直接公式。

解决这类问题的钥匙就是三角恒等变换——把复杂角度的三角函数，转化成简单角度（特殊角）的三角函数。

而这一切的基础，就是和差角公式。

两角和与差的余弦公式

这是整个三角恒等变换中最核心的公式：

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

几何推导

在单位圆上取两个点 A(cos α, sin α) 和 B(cos β, sin β)。

根据两点间距离公式：

$$|AB|^2 = (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2$$

展开并整理（利用 sin² + cos² = 1）：

$$|AB|^2 = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$$

另一方面，A 和 B 都在单位圆上，它们之间的圆心角是 |α - β|。由余弦定理：

$$|AB|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$$

比较两个结果：

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

这就是两角差的余弦公式。把 β 换成 -β，就得到两角和的余弦公式。

两角和与差的正弦公式

从余弦公式推导正弦公式，用到诱导公式：

$$\sin(\alpha + \beta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right)$$

用差角余弦公式：

$$= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos \beta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin \beta$$ $$= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

同理可得：

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

两角和与差的正切公式

用正弦除以余弦：

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$$

分子分母同时除以 cos α cos β：

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$

同理：

$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

记忆方法

六个公式（和角、差角各三个），核心就两个：

正弦：交叉相乘，和差相同

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

余弦：同边相乘，和差相反

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

注意余弦公式里的正负号和角度公式里的正负号相反——这是最容易错的地方。

重要推论

辅助角公式

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$$

其中 $\tan \varphi = \dfrac{b}{a}$。这个公式把一个正弦加余弦的式子合并成一个正弦，是化简三角式的利器。

积化和差

$$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$$

和差化积

$$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$

在高中数学体系里的位置

和差角公式是三角恒等变换的基础，后续所有公式（二倍角、半角、辅助角、积化和差……）都可以从它推导出来。

高考中，和差角公式的直接考查相对较少，但它是解题的基础工具。不会推导、不会用的话，后面所有三角恒等变换的题都做不出来。

思考与拓展

1. 你能从单位圆上直接推导出 sin(α + β) 的公式吗？（提示：用旋转的几何意义）
2. 证明：sin 75° = (√6 + √2)/4。（提示：75° = 45° + 30°）
3. 不用计算器，比较 sin 10°、cos 10°、tan 10° 的大小。
4. 你能用和差角公式证明 sin 3α = 3sin α - 4sin³α 吗？

高考母题

（2021·新高考全国I卷） 若 $tanθ=-2$ ，则 $\frac { sinθ\left ( { 1+sin2θ } \right ) } { sinθ+cosθ }=$ （    ）

A．$-\frac { 6 } { 5 }$　　B．$-\frac { 2 } { 5 }$　　C．$\frac { 2 } { 5 }$　　D．$\frac { 6 } { 5 }$

展开详解

答案：C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( $1=sin ^ { 2 } θ+cos ^ { 2 } θ$ )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 $tanθ=-2$ 即可得到结果． 将式子进行齐次化处理得： $\frac { sinθ\left ( { 1+sin2θ } \right ) } { sinθ+cosθ }=\frac { sinθ\left ( { sin ^ { 2 } θ+cos ^ { 2 } θ+2sinθcosθ } \right ) } { sinθ+cosθ }=sinθ\left ( { sinθ+cosθ } \right )$ $=\frac { sinθ\left ( { sinθ+cosθ } \right ) } { sin ^ { 2 } θ+cos ^ { 2 } θ }=\frac { tan ^ { 2 } θ+tanθ } { 1+tan ^ { 2 } θ }=\frac { 4-2 } { 1+4 }=\frac { 2 } { 5 }$ ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用 $tanθ=-2$ ，求出 $sinθ,cosθ$ 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

一句话总结

和差角公式是三角恒等变换的"母公式"——其他所有公式都是从它派生出来的。记住正弦交叉、余弦同边的口诀就够了。