正弦函数 y=sin x 的图像与性质

从静态到动态

上一讲我们定义了 $\sin \alpha$ 是单位圆上点的纵坐标。那是一个静态的快照：给定一个角，找到对应的点，读出纵坐标。

但如果让这个角连续转动呢？让 $\alpha$ 从 $0$ 慢慢增大到 $2\pi$，每一时刻都记录对应的 $(\alpha, \sin \alpha)$，把这些点全都描在坐标系里——

你得到的就是一条曲线。它叫正弦曲线。

这才是函数思想的精髓：同一个规则（单位圆的纵坐标），作用在连续变化的输入上，输出就铺成了一条线。

五个关键点就够了

要在 $[0, 2\pi]$ 上画出准确的正弦曲线，不需要描无数个点。五个点就足够锁定整条曲线的形状。

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$

这五个点怎么选出来的？不是随机的——它们是函数形态发生质变的时刻：

• $x = 0$ 和 $x = 2\pi$：周期的起点和终点，函数值为 $0$
• $x = \dfrac{\pi}{2}$：第一次达到最高点，$\sin x = 1$
• $x = \pi$：从正变负的穿越点，$\sin x = 0$
• $x = \dfrac{3\pi}{2}$：第一次达到最低点，$\sin x = -1$

零点、最高点、最低点——这三个角色覆盖了曲线的所有关键特征。 把这五个点用平滑曲线连起来，一个周期内的正弦曲线就完成了。向左右无限延伸，就是完整的 $y = \sin x$。

从图像读性质

正弦曲线画出来后，它的性质不用再背——直接在图上读就行了。

周期性

图像每隔 $2\pi$ 重复一次。数学上写成：

$$\sin(x + 2\pi) = \sin x$$

对任意 $x$ 都成立。最小正周期是 $2\pi$。

从单位圆看更直观：角转一整圈（$2\pi$）回到原来的终边位置，纵坐标当然不变。

奇偶性

图像关于原点对称。这意味着：

$$\sin(-x) = -\sin x$$

从单位圆看：角 $\alpha$ 和角 $-\alpha$ 的终边关于 $x$ 轴对称，纵坐标互为相反数。所以 $\sin$ 是奇函数。

值域

图像最高到 $1$，最低到 $-1$，中间连续不断。所以：

$$\sin x \in [-1, 1]$$

最大值 $1$ 在 $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ 处取得，最小值 $-1$ 在 $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$ 处取得（$k$ 为任意整数）。

单调性

从图像上看，曲线在 $[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$ 上一直上升，在 $[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}]$ 上一直下降。推广到整个定义域：

• 递增区间：$\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$
• 递减区间：$\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$

记住一个周期的单调性就够了，周期性自动告诉你其余部分。

余弦和正切：顺带的事

余弦函数

$\cos x$ 的图像和 $\sin x$ 几乎一样——因为：

$$\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$

余弦图像就是正弦图像向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$。性质一一对应：

• 周期 $2\pi$
• 偶函数（图像关于 $y$ 轴对称）
• 值域 $[-1, 1]$
• 在 $[0, \pi]$ 上递减，在 $[\pi, 2\pi]$ 上递增

正切函数

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，图像和正弦、余弦完全不同。

定义域要求 $\cos x \neq 0$，即 $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$。在这些点上函数无定义，图像出现竖直渐近线（"断点"）。

在每个定义区间内，$\tan x$ 从 $-\infty$ 单调增加到 $+\infty$，相邻两个断点之间的形状完全相同，周期是 $\pi$（注意：不是 $2\pi$）。

• 周期：$\pi$
• 奇函数
• 值域：$\mathbb{R}$（全体实数，无界）
• 在每个 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 内递增

三种函数横向对比

性质	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
值域	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$	$\mathbb{R}$
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
奇偶	奇函数	偶函数	奇函数
连续性	处处连续	处处连续	间断点
有界性	有界	有界	无界

在高中数学体系里的位置

正弦函数和余弦函数的图像与性质是整个三角函数章节的核心。后续所有内容都建立在这个基础上：

• 函数变换（$y = A\sin(\omega x + \varphi)$）直接在此基础上加参数
• 解三角方程，本质是在图像上找特定高度对应的横坐标
• 三角不等式，本质是比较图像的高低
• 解三角形里的边角关系，最终都要回到正弦、余弦的值和范围

理解图像比记住性质重要十倍。 看到一个 $y = \sin x$，你应该能立刻说出它的周期、值域、单调区间、特殊点。这种"看图即得性质"的直觉，是高考三角函数题的基本功。

思考与拓展

1. 在 $[-2\pi, 2\pi]$ 上画出 $y = \sin x$ 的图像，标出所有零点、最高点和最低点。
2. 已知 $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$，且 $\alpha \in [0, 2\pi]$，直接从图像上读出 $\alpha$ 的所有可能值。
3. $\tan x$ 在 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 处没有定义。从左侧趋近时趋向 $+\infty$ 还是 $-\infty$？从右侧呢？
4. 你能从图像上解释为什么 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ 吗？
5. 比较 $\sin x$ 和 $\tan x$ 在 $x \to \dfrac{\pi}{2}$ 时的行为差异，为什么一个有界一个无界？

高考母题

（2025·上海） 已知 $tanα=1$ ，则 $cos\left ( { α+\frac { { \pi } } { 4 } } \right )=$ __________．

展开详解

$0$ 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 由 $tanα=\frac { sinα } { cosα }=1$ 可得 $sinα=cosα$ ， 所以 $cos\left ( { α+\frac { { \pi } } { 4 } } \right )=cosαcos\frac { { \pi } } { 4 }-sinαsin\frac { { \pi } } { 4 }=\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 }\left ( { cosα-sinα } \right )=0$ ， 故答案为： $0$

一句话总结

正弦曲线是从单位圆"动"出来的——角连续转动，纵坐标连续描点，形成一个周期重复、有界连续、关于原点旋转对称的波形。