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三角函数 · 第 3 讲 · 2026-09-02 · 约 8 分钟

第3讲 同角三角函数的基本关系——一个公式推倒一片

平方关系和商数关系不是要背的公式，而是单位圆定义的直接推论。理解来源，就不需要背了。

两个关系，一个圆

从单位圆定义出发，三角函数之间有两个最基本的关系。它们不是独立的公式，而是同一个圆的两面。

平方关系

点 (cos⁡α,sin⁡α)(\cos \alpha, \sin \alpha) 在单位圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 上，所以：

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

这是圆的方程。没有其他来源，就是圆本身。

它告诉我们什么？ 知道 sin α 就能求 cos α（差一个符号），知道 cos α 就能求 sin α。符号由象限决定。这是后面所有计算的基础操作。

商数关系

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

这是定义的直接推论——tan 就是 sin 除以 cos。

它告诉我们什么？ tan 不是独立的东西，它是 sin 和 cos 的比值。只要 sin 和 cos 确定了，tan 就确定了。

从两个根基推出一切

掌握了上面两个关系，其他的变形都是自动产生的。

已知一个值求另一个

由平方关系：cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha，所以 cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}。

符号怎么定？看象限。这是唯一需要判断的地方——其余全是代数运算。

例子： 已知 sin⁡α=35\sin \alpha = \dfrac{3}{5}，α\alpha 在第二象限，求 cos⁡α\cos \alpha 和 tan⁡α\tan \alpha。

cos⁡2α=1−925=1625\cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}，所以 cos⁡α=±45\cos \alpha = \pm\dfrac{4}{5}。

第二象限 cos 为负，所以 cos⁡α=−45\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}。

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=3/5−4/5=−34\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}。

三步走完。

齐次式——最实用的变形技巧

形如 asin⁡2α+bsin⁡αcos⁡α+ccos⁡2αdsin⁡2α+esin⁡αcos⁡α+fcos⁡2α\dfrac{a\sin^2 \alpha + b\sin \alpha \cos \alpha + c\cos^2 \alpha}{d\sin^2 \alpha + e\sin \alpha \cos \alpha + f\cos^2 \alpha} 的式子，分子分母同时除以 cos⁡2α\cos^2 \alpha，全部变成 tan⁡α\tan \alpha 的形式：

atan⁡2α+btan⁡α+cdtan⁡2α+etan⁡α+f\dfrac{a\tan^2 \alpha + b\tan \alpha + c}{d\tan^2 \alpha + e\tan \alpha + f}

这种题目在考试中非常常见。关键操作就是"除以 cos⁡2α\cos^2 \alpha"——这一步把问题降维到只含 tan α。

平方关系的其他变形

把平方关系改写一下：

sin⁡2α=1−cos⁡2α,cos⁡2α=1−sin⁡2α\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha, \quad \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

这两个变形在处理 sin⁡2α\sin^2 \alpha 或 cos⁡2α\cos^2 \alpha 的化简时经常用到。它也是后面二倍角公式（降幂公式）的直接来源。

它们为什么重要

同角关系看起来简单，但它们是整个三角恒等变换的基础设施：

  • 诱导公式的推导要用到平方关系
  • 和差角公式的证明最终要化简成 sin 和 cos 的运算
  • 解三角形中，已知一边一角求另一边，经常需要同时用同角关系和正弦定理

掌握程度： 给你一个三角函数值和一个象限，你应该能立刻写出其余两个的值。这个过程不需要思考，就像背乘法表一样自然。

在高中数学体系里的位置

同角三角函数关系是连接"定义"和"公式"的桥梁。第2讲的单位圆定义给出了 sin、cos、tan 是什么，第3讲告诉你它们之间有什么关系。从第4讲开始，所有的公式推导都建立在这两个根基之上。

思考与拓展

  1. 已知 tan⁡α=2\tan \alpha = 2，求 sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} 的值。
  2. 已知 sin⁡α=13\sin \alpha = \dfrac{1}{3}，且 α\alpha 为第二象限角，求 cos⁡α\cos \alpha 和 tan⁡α\tan \alpha。
  3. 证明：1−cos⁡αsin⁡α=sin⁡α1+cos⁡α\dfrac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \dfrac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}。
  4. 如果 sin⁡α+cos⁡α=15\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{5}，求 sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \cos \alpha 和 sin⁡3α+cos⁡3α\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha。

一句话总结

同角关系就两个：平方关系（圆方程）和商数关系（定义本身）。记住它们，其他的都是自动推出来的。

— Y. · 2026-09-02