同角三角函数的基本关系——一个公式推倒一片

从一个问题开始

上一讲给了三个定义：

$$\sin \alpha = y, \qquad \cos \alpha = x, \qquad \tan \alpha = \frac{y}{x}$$

其中 $(x, y)$ 是角 $\alpha$ 的终边与单位圆的交点。

三个量，一个圆。这一讲要回答的是：这三个数之间，有没有固定的关系？

有，而且只有两个。这两个关系是后面所有三角变换的地基。

示意图

两个关系，一个圆

从单位圆定义出发，三角函数之间有两个最基本的关系。它们不是独立的公式，而是同一个圆的两面。

平方关系

点 $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 在单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上，所以：

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

这是圆的方程。没有其他来源，就是圆本身。

为什么叫「平方」关系？ 因为式子里出现的是 $\sin^2 \alpha$ 和 $\cos^2 \alpha$——两个平方项加起来等于 1。它的几何含义极其朴素：单位圆上任意一点到原点的距离恒为 1。勾股定理在单位圆上的直接表述。

这个关系的重要性怎么强调都不过分：它是整个三角里唯一一个不依赖角的象限、不依赖角的范围的恒等式。无论 $\alpha$ 是多少，是正的、负的、超过 $360°$ 的、还是根本画不出来的角，这个等式都成立。

商数关系

由定义直接相除：

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

它告诉我们什么？ tan 不是独立的东西，它是 sin 和 cos 的比值。只要 sin 和 cos 确定了，tan 就确定了。反过来说，知道 sin 和 cos 的比值，也就知道 tan。

为什么有定义式的限制？ 定义里要求 $\cos \alpha \neq 0$。当 $\cos \alpha = 0$（即 $\alpha = 90° + k \cdot 180°$）时，tan 不存在——这正是正切函数在那些位置有垂直渐近线的原因。

这两个关系够用吗？ 够。它们是「最小完备集」——没有任何一个关系是多余的，也没有任何一个有用的关系无法从它们推出。

从两个根基推出一切

掌握了上面两个关系，其他的变形都是自动产生的。

已知一个值求另一个

由平方关系：

$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$

所以

$$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$$

符号怎么定？看象限。这是唯一需要判断的地方——其余全是代数运算。

这个 $\pm$ 是很多学生栽跟头的地方。平方关系给的是「平方」，平方号一去掉就要分正负。判断的依据只能是象限：第一、四象限 cos 为正，第二、三象限为负。没有别的办法，也没有捷径。

例子： 已知 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，$\alpha$ 在第二象限，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$。

先算大小：

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \quad \Rightarrow \quad |\cos \alpha| = \frac{4}{5}$$

再定符号：第二象限的 cos 为负，所以

$$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$

最后算 tan：

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$

三步走完：平方关系求大小，象限定符号，定义求 tan。这个顺序不能乱。

齐次式——最实用的变形技巧

形如下式的分式，分子分母都是关于 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$ 的二次齐次式：

$$\frac{a\sin^2 \alpha + b\sin \alpha \cos \alpha + c\cos^2 \alpha}{d\sin^2 \alpha + e\sin \alpha \cos \alpha + f\cos^2 \alpha}$$

分子分母同时除以 $\cos^2 \alpha$，全部变成 $\tan \alpha$ 的形式：

$$\frac{a\tan^2 \alpha + b\tan \alpha + c}{d\tan^2 \alpha + e\tan \alpha + f}$$

这种题目在考试中非常常见。关键操作就是「除以 $\cos^2 \alpha$」——这一步把问题降维到只含 $\tan \alpha$。

为什么除以 $\cos^2 \alpha$ 而不是 $\sin^2 \alpha$？ 因为目标是把两个变量（sin、cos）压成一个变量。除以 $\cos^2 \alpha$ 之后，sin 和 cos 都以 $\tan \alpha$ 的面目出现，变量数从 2 降到 1。除以 $\sin^2 \alpha$ 也能降维（变成只含 $\cot \alpha$），但考试通常已知 tan，所以默认走 cos 的路。

这一步的本质是「齐次」。分子分母每一项的次数都一样（都是 2），所以可以整体除。如果分子分母次数不齐，就不能这么干——那是另一类题。

例子： 已知 $\tan \alpha = 2$，求 $\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$。

分子分母同除 $\cos \alpha$：

$$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1} = \frac{2+1}{2-1} = 3$$

注意这里除的是 $\cos \alpha$ 而不是 $\cos^2 \alpha$——因为式子是一次齐次式。

平方关系的其他变形

把平方关系改写一下：

$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha, \qquad \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$

这两个变形在处理 $\sin^2 \alpha$ 或 $\cos^2 \alpha$ 的化简时经常用到。它也是后面二倍角公式（降幂公式）的直接来源。

「降幂」是什么？ 把二次方降成一次方。因为

$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$$

移项就得到

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

等式左边是平方，右边只剩一次——角翻倍，但次数减半。这是「降幂」的原始出处。

从平方关系到二倍角

平方关系还能往前再走一步。

已知 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$（第 5 讲会证），令 $\beta = \alpha$：

$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$

同理

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$$

用平方关系，可以把 $\cos 2\alpha$ 写成另外两种形式：

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1$$

三种形式等价，用哪个看题目给了什么。

例子： 已知 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，求 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$。

先补出 $\cos \alpha$（分象限讨论）：若 $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$，则

$$\sin 2\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$ $$\cos 2\alpha = 1 - 2 \times \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$$

用另一条路验算：$\cos 2\alpha = 2 \times \dfrac{16}{25} - 1 = \dfrac{32}{25} - 1 = \dfrac{7}{25}$，一致。

两条路得出同一个数，这才是「会了」的标准。

一个综合的例子

若 $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{5}$，求 $\sin \alpha \cos \alpha$ 和 $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$。

第一步，两边平方。 这是处理「和的形式」的标准动作：

$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{25}$$

左边有 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$——这正是平方关系！它等于 1，所以

$$1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25}$$ $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{25} - 1\right) = -\frac{12}{25}$$

第二步，用立方和公式。

$$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$$

括号里又有 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，所以

$$= \frac{1}{5}\left(1 + \frac{12}{25}\right) = \frac{1}{5} \times \frac{37}{25} = \frac{37}{125}$$

这道题连用了平方关系和立方和公式，是用「关系」解题的典型。

一个恒等式的证法

证明：

$$\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$$

证法一：交叉相乘。 只要证

$$(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$$

左边正是平方差，等于 $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$。证完。

证法二：逐步变形。 分子分母同乘 $1 + \cos \alpha$：

$$\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1 + \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha(1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$$

两种证法本质一样，都在用平方关系。这是「恒等式证明从难的一边入手」的原则——把复杂的一边往简单的一边靠。

它们为什么重要

同角关系看起来简单，但它们是整个三角恒等变换的基础设施：

• 诱导公式的推导要用到平方关系
• 和差角公式的证明最终要化简成 sin 和 cos 的运算
• 解三角形中，已知一边一角求另一边，经常需要同时用同角关系和正弦定理

掌握程度： 给你一个三角函数值和一个象限，你应该能立刻写出其余两个的值。这个过程不需要思考，就像背乘法表一样自然。

再多一层： 给你一个 $\tan \alpha$ 的值，你应该能立刻把任何二次齐次式化成只含 $\tan \alpha$ 的代数式。这一步也不用思考，是肌肉记忆。

在高中数学体系里的位置

同角三角函数关系是连接定义和公式的桥梁。第 2 讲的单位圆定义给出了 sin、cos、tan 是什么，第 3 讲告诉你它们之间有什么关系。从第 4 讲开始，所有的公式推导都建立在这两个根基之上。

它在高考里的直接考点有三个：

1. 给值求值——最简单的应用，考平方关系和符号判断
2. 齐次式化简——考「除以 $\cos^2 \alpha$」这一步操作
3. 恒等式证明——考对平方关系的变形能力

三种题型难度递进，但用的都是同一个工具。三角学里「工具少、题型多」的特点，在这一讲表现得最明显。

思考与拓展

1. 已知 $\tan \alpha = 2$，求 $\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ 的值。
2. 已知 $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}$，且 $\alpha$ 为第二象限角，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$。
3. 证明：$\dfrac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \dfrac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$。
4. 如果 $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{5}$，求 $\sin \alpha \cos \alpha$ 和 $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$。
5. 思考题：若 $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{5}$，能否进一步求出 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 各自的值？（提示：联立 $\sin \alpha + \cos \alpha$ 与 $\sin \alpha \cos \alpha$，构造一元二次方程。）
6. 思考题：为什么 $\tan \alpha = 2$ 时，$\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 3$ 与 $\alpha$ 的具体值无关？这说明了齐次式的什么性质？

高考母题

（2026·全国I卷） 已知集合 $A=\left \{ sin\frac { 7{ \pi } } { 6 },cos\frac { 5{ \pi } } { 3 },tan\frac { 5{ \pi } } { 4 } \right \}$ ， $B=\left \{ -\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 },-\frac { 1 } { 2 },1 \right \}$ ，则 $A\cap B=$ （     ）

A．$\left \{ -\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 },-\frac { 1 } { 2 } \right \}$　　B．$\left \{ -\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 },1 \right \}$　　C．$\left \{ -\frac { 1 } { 2 },1 \right \}$　　D．$\left \{ -\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 },-\frac { 1 } { 2 },1 \right \}$

展开详解

答案：C

因为 $sin\frac { 7{ \pi } } { 6 }=sin\left ( { { \pi }+\frac { { \pi } } { 6 } } \right )=-sin\frac { { \pi } } { 6 }=-\frac { 1 } { 2 }$ ， $cos\frac { 5{ \pi } } { 3 }=cos\left ( { 2{ \pi }-\frac { { \pi } } { 3 } } \right )=cos\frac { { \pi } } { 3 }=\frac { 1 } { 2 }$ ， $tan\frac { 5{ \pi } } { 4 }=tan\left ( { { \pi }+\frac { { \pi } } { 4 } } \right )=tan\frac { { \pi } } { 4 }=1$ ， 即集合 $A=\left \{ -\frac { 1 } { 2 },\frac { 1 } { 2 },1 \right \}$ ，且集合 $B=\left \{ -\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 },-\frac { 1 } { 2 },1 \right \}$ ，所以 $A∩B=\left \{ -\frac { 1 } { 2 },1 \right \}$ .

一句话总结

同角关系就两个：平方关系（圆方程）和商数关系（定义本身）。记住它们，其他的都是自动推出来的。