三角函数的定义——单位圆上的坐标

示意图

初中定义的局限

初中你学过：

$$\sin \alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}},\quad \cos \alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\quad \tan \alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

这个定义简洁直观，但它有两个致命问题。

第一，只适用于锐角。 这是最致命的一条。定义里藏着"直角"两个字——直角三角形必须有一个 $90°$ 的内角。所以初中定义能够处理的角，被死死锁在 $0°$ 到 $90°$ 之间。一旦角变成钝角、平角或者负角，直角三角形就不存在了，定义跟着失效。

$120°$ 就是现成的例子。你设一个 $120°$ 的角，试着在它里面画一个直角三角形——画不出来。不是你没本事，是这个定义从结构上就容不下钝角。

第二，依赖具体的三角形。 同一个角放在不同大小的直角三角形里，算出来的比值确实相同——但这个"相同"需要额外证明，用"相似三角形对应边成比例"去补。定义干净，代价后面付。

第三层更隐蔽：三角函数的"函数"身份被埋没了。 初中的定义方式，三角函数看起来是"三角形的属性"——先有一个三角形，再有它的三个比值。但我们要的是角的属性：角独立于任何三角形存在，它自己就该有一个确定的函数值。$390°$ 比 $30°$ 多转了一圈，终边完全相同，函数值应该相同。这件事在三角形语言里根本没法陈述——没有哪个三角形能装下 $390°$。

三条合起来指向同一个结论：要一个不依赖三角形、能处理一切角的定义。

单位圆定义

把角放在平面直角坐标系里：顶点在原点，始边落在 $x$ 轴正半轴，终边转到任意一个位置。终边是一条从原点发出的射线，它一定和单位圆（圆心在原点、半径为 1 的圆）相交，交点记作 $P(x, y)$。

定义：

$$\cos \alpha = x, \quad \sin \alpha = y, \quad \tan \alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$$

正弦是点的纵坐标，余弦是点的横坐标，正切是纵比横。

就这么简单。一个定义，同时解决两个问题：

• 角可以是任意实数——终边转到哪里都行，和单位圆总有一个交点
• 定义不依赖任何三角形——三角函数现在是角本身的属性

为什么半径偏偏是 1

这是学生在读定义时第一个该问的问题。答案是：半径等于 1，可以把"求比值"里的那一步除法省掉。

设圆心在原点、半径为 $r$ 的圆，终边与它交于 $Q(x', y')$。要想让定义和初中接轨，自然的定义是

$$\sin \alpha = \frac{y'}{r}, \quad \cos \alpha = \frac{x'}{r}$$

因为 $\triangle OMQ$ 与初中那个直角三角形相似，$y' / r$ 正是对边比斜边。这个定义同样能处理任意角，但它每一步都要除一次 $r$。取 $r = 1$ 之后分母成了 1，除以 1 这件事可以干脆不写——于是 sin 直接就是纵坐标，cos 直接就是横坐标。

省掉的这一步除法不只是省了笔墨。后面 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 之所以成立，靠的就是 $x^2 + y^2 = 1$ 这条圆方程；换成半径 $r$，它要先变成 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = r^2$。单位圆还把"角的属性"翻译成"圆上点的运动"，这是导数与周期性的几何入口。

半径取 1 不是偷懒，是把单位选得让结构自己显形。

终边相同，函数值相同

终边是射线，不是"转了多少圈"的记录。所以 $30°$、$390°$、$750°$ 的终边是同一条射线，交单位圆于同一点 $P$，于是

$$\sin 390° = \sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 390° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

负角就是顺时针转：$-30°$ 的终边与 $330°$ 的终边重合，函数值也相同。

这件事初中定义连说都说不出来。 现在它是自然推论：函数值只由终边位置决定，跟转了几圈、往哪转完全无关。后面学诱导公式，本质都是在回答"终边关于什么对称"。

定义域与值域

• $P$ 点总存在，所以 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的定义域是全体实数
• $P$ 在单位圆上，$-1 \leqslant x \leqslant 1$、$-1 \leqslant y \leqslant 1$，所以两者的值域都是 $[-1, 1]$

tan 只由纵比横决定，与 $P$ 跑多远无关，所以值域是全体实数——$90°$ 附近它可以跑到任意大（后面会看到它在那里没有定义）。

它和初中定义一致吗

对锐角来说，完全一致。

设 $\alpha$ 是锐角，终边与单位圆交于 $P(x, y)$。过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $M$。$\triangle OMP$ 是直角三角形，斜边 $OP = 1$，邻边 $OM = x$，对边 $PM = y$。

所以：

$$\sin \alpha = \frac{PM}{OP} = \frac{y}{1} = y$$ $$\cos \alpha = \frac{OM}{OP} = \frac{x}{1} = x$$

和初中定义一样。区别在于：单位圆定义把三角形"吸收"进了圆里——三角形是特例，圆是通则。

钝角怎么办：靠补角拆成锐角

对钝角，三角形真画不出来，但仍可以拆。以 $120°$ 为例：终边与单位圆交于 $P$，过 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $M$。此时 $\triangle OMP$ 在原点处的内角不是 $120°$，而是它的补角 $60°$。

在这个三角形里，对边 $PM$ 的长度是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，邻边 $OM$ 的长度是 $\dfrac{1}{2}$，斜边还是 1。所以初中定义给出

$$\frac{PM}{OP} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{OM}{OP} = \frac{1}{2}$$

第一个数就是 $\sin 120° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，对上了。第二个数有问题：$\cos 120°$ 不是 $\dfrac{1}{2}$，而是 $-\dfrac{1}{2}$。

长度没有正负，坐标才有。 初中定义只会报长度，符号全丢。单位圆定义用的是 $OM$ 这个有向的量：$M$ 落在 $x$ 轴负半轴上，所以 $OM = -\dfrac{1}{2}$，负号自动带出来。

同一个三角形，同一个 $\dfrac{1}{2}$，一套定义给不出符号，另一套给出。这就是为什么三角函数必须从三角形搬到圆上——要处理的量本身是有正负的，容器也得是有向的。

终边过单位圆外一点怎么办

如果终边上取的不是单位圆上的点，而是随便一点 $Q$，定义还成立吗？

设终边过 $Q(x', y')$，$|OQ| = r$。由相似三角形，

$$\sin \alpha = \frac{y'}{r}, \quad \cos \alpha = \frac{x'}{r}, \quad \tan \alpha = \frac{y'}{x'}$$

举实例：终边过 $Q(3, 4)$，则 $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，于是

$$\sin \alpha = \frac{4}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{3}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{4}{3}$$

这个角约等于 $53.13°$。三个比值全部与 $r$ 无关——把 $Q$ 沿终边拉到 $r = 1$ 处，得到的正是同一个角的正弦、余弦、正切。三角函数只认终边的方向，不认点的远近。 单位圆只是把这趟"先除后归一"预先做完了。

三角函数值的几何意义

单位圆定义把三个函数值落到了三种几何量上。

正弦线与余弦线

$P(x, y)$ 在单位圆上，过 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $M$。这两条线段（带正负）就是：

• 余弦线 $OM$：从原点到垂足的有向线段，数量等于 $\cos \alpha$
• 正弦线 $MP$：从垂足到 $P$ 的有向线段，数量等于 $\sin \alpha$

验证几个角（$|OP| = 1$ 恒成立）：

$$30°: P = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right),\ \ OM = \frac{\sqrt{3}}{2},\ \ MP = \frac{1}{2}$$ $$120°: P = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ \ OM = -\frac{1}{2},\ \ MP = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$210°: P = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right),\ \ OM = -\frac{\sqrt{3}}{2},\ \ MP = -\frac{1}{2}$$

"有向"两个字是关键。 线段长度只能给非负数，所以光看长度，$30°$ 与 $150°$ 的余弦线看不出区别（都是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$）；带上方向，$150°$ 的余弦线指向 $x$ 轴负方向，数量是 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。正弦线同理：第二、三象限的 $MP$ 指向不同，前者为正、后者为负。

正切线：一条切线，一个交点

过 $A(1, 0)$ 作单位圆的切线，即竖直直线 $x = 1$。终边所在的直线（过原点、斜率为 $\tan \alpha$ 的直线）与这条切线交于一点 $T$，那么有向线段 $AT$ 的数量恰好等于 $\tan \alpha$。

为什么？ 终边所在直线是 $y = x \tan \alpha$，代入 $x = 1$ 即得 $y = \tan \alpha$；反过来，$\tan \alpha$ 正是这条直线的斜率。验算：$30°$ 时 $T = (1, \tfrac{\sqrt{3}}{3})$，$45°$ 时 $T = (1, 1)$，$60°$ 时 $T = (1, \sqrt{3})$，$120°$ 时 $T = (1, -\sqrt{3})$，$210°$ 时 $T = (1, \tfrac{\sqrt{3}}{3})$。

有三点必须交代清楚，否则容易用错：

• 第二、三象限要反向延长。 $120°$ 的射线朝左上方走，横坐标始终为负，够不到 $x = 1$；须把终边所在的直线反向延长，才在 $A$ 点下方交得 $T$。此时 $T$ 在 $A$ 下方，$AT = -\sqrt{3}$，为负
• $90°$ 时没有交点。 终边所在直线是 $x = 0$，与切线 $x = 1$ 平行，永不相交，正切线不存在。这是 tan 在 $90°$ 处无定义的又一种几何说法
• $0°$ 与 $180°$ 时 $T$ 与 $A$ 重合，$AT = 0$，与 $\tan 0° = \tan 180° = 0$ 一致

三条线摆在一起看，单位圆上一点的三个函数值都有了着落：横着看是余弦，竖着看是正弦，斜着看是正切。

符号规律

从定义出发，各象限的符号一目了然：

象限	$x$	$y$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
一	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
二	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
三	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
四	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

记忆口诀："全正、正弦、正切、余弦"——第一象限全正，第二象限只有 sin 正，第三象限只有 tan 正，第四象限只有 cos 正。

符号不是规定出来的，是坐标决定的

这张表不需要背，它是坐标正负的直接誊写。 $\sin \alpha$ 就是纵坐标 $y$，所以 $P$ 在 $x$ 轴上方（第一、二象限）时 $\sin \alpha$ 为正，在下方（第三、四象限）时为负。$\cos \alpha$ 就是横坐标 $x$，所以 $P$ 在 $y$ 轴右侧（第一、四象限）时 $\cos \alpha$ 为正，在左侧（第二、三象限）时为负。

前两列定了，tan 那列就是除法规则：同号得正，异号得负。

角	象限	$x$	$y$	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$30°$	一	$+$	$+$	$+\dfrac{1}{2}$	$+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	一	$+$	$+$	$+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$+1$
$60°$	一	$+$	$+$	$+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$+\dfrac{1}{2}$	$+\sqrt{3}$
$120°$	二	$-$	$+$	$+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$210°$	三	$-$	$-$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

单位圆上对应点的坐标全部对上：$30°$ 对应 $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$，$120°$ 对应 $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$210°$ 对应 $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)$。横坐标一律等于该角的余弦，纵坐标一律等于正弦；两者的平方和恒等于 1。

这个规律很有用。比如算出 $\sin \alpha > 0$，就知道 $\alpha$ 的终边在第一或第二象限；再结合 $\cos \alpha < 0$，就锁定在第二象限。

一个高频易错点：$120°$ 的余弦为负

$120°$ 的余弦是 $-\dfrac{1}{2}$，不是 $\dfrac{1}{2}$，常被写成正号。

错误来源是把它当成锐角算：$120° = 180° - 60°$，有学生推出 $|\cos 120°| = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$，到此打住，忘了带符号。正确做法分两步：先用补角或对称性定绝对值，再用象限定符号。

$120°$ 在第二象限，$\cos$ 在第二象限为负，所以 $\cos 120° = -\dfrac{1}{2}$。对应的 $\tan 120° = \dfrac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$。

只看大小不看符号，是这一类题的全部失分点。 从单位圆上看，$P\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 明明白白落在 $y$ 轴左侧，横坐标不可能是正的。把点画出来，符号不会错。

平方关系

点 $P(x, y)$ 在单位圆上，所以 $x^2 + y^2 = 1$。代入定义：

$$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$

这就是平方关系——所有三角恒等式的根基。它不是一组需要背诵的公式，而是圆的方程直接翻译过来的一句话。

知道其中一个值，就能求另一个（需要配合象限判断符号）。这也是后面所有恒等变换的起点。

这个关系的分量在于它是"无条件"的。 它不挑象限、不挑角的范围、不管角是正是负、是超过了 $360°$ 还是根本画不出来，等式一概成立。三角函数里绝大多数公式都有适用范围，唯独它没有。也因此，它是整个三角恒等变换里唯一能"闭着眼睛用"的一条。

例子： 已知 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，且 $\alpha$ 在第二象限，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$。

先算大小：

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \quad \Rightarrow \quad |\cos \alpha| = \frac{4}{5}$$

再定符号：第二象限的 $\cos$ 为负，所以

$$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$

最后按定义算 tan：

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$

先平方关系定大小，再象限定符号，最后定义求 tan——顺序不能颠倒。 第二步一旦漏掉，$-\dfrac{4}{5}$ 会变成 $\dfrac{4}{5}$，$\tan \alpha$ 跟着从 $-\dfrac{3}{4}$ 变成 $\dfrac{3}{4}$，两个数全错。

定义域

从单位圆看，定义域是显然的：

• $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$：任何角都有对应的点，定义域是 $\mathbb{R}$
• $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$：当 $\cos \alpha = 0$ 时无定义，即 $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

这就是为什么正切图像在 $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 处有断点——分母为零，函数没有意义。

为什么会 $\cos \alpha = 0$：坐标把它说清楚了

$\cos \alpha$ 是横坐标，横坐标等于 $0$，意思是 $P$ 落在了 $y$ 轴上。终边与 $y$ 轴重合时，$\alpha = 90° + k \cdot 180°$（$k$ 为整数）。此时

$$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\pm 1}{0}$$

分母为零，除法没有意义，tan 在这些位置无定义。注意排除的是 $90° + k \cdot 180°$，间隔 $180°$——tan 的周期是半圈，所以每隔半圈就无定义一次。

无定义的位置，数值上在发生什么

看 tan 在 $90°$ 附近怎么跑：

$$\tan 89° \approx 57.29, \quad \tan 89.9° \approx 572.96, \quad \tan 89.99° \approx 5729.58$$

从左边逼近 $90°$，tan 冲向正无穷。越过 $90°$ 之后：

$$\tan 90.01° \approx -5729.58, \quad \tan 90.1° \approx -572.96, \quad \tan 91° \approx -57.29$$

从右边逼近，tan 从负无穷那一侧回来。左右两边的值断崖式地不接续，中间那个点整个消失。 这就是图像上那条竖直渐近线的来历：不是"tan 在那里等于无穷大"，而是"tan 在那里压根不存在"。

从定义看更干脆：$P$ 沿单位圆从第一象限滑向 $y$ 轴正方向时，横坐标 $x$ 缩小并趋向 $0$，纵坐标 $y$ 稳稳趋向 $1$；$x$ 一过 $0$ 变成负数，比值立刻翻到负的一侧。$x = 0$ 这一瞬没有值可给。

在高中数学体系里的位置

单位圆定义是三角函数整个章节的基石。

后续的诱导公式（对称性）、同角关系（圆方程）、图像性质（点的运动轨迹）、恒等变换——全部从这里出发。理解了单位圆定义，这些内容都不需要死记，而是可以"推"出来的。

更重要的是，这个定义完成了三角函数从"解三角形的工具"到"基本初等函数"的身份升级。它不再依附于任何几何图形，而是一个独立的数学对象——这为后面学习导数、积分、级数打开了大门。

高考里的考点分三层，难度是一条线：

1. 给值求值——给出一个函数值和象限，求其余的。考平方关系加符号判断，第一层是送分，第三层开始埋 $\pm$ 的坑
2. 符号判断——不给数值，只判断正负。考象限表，本质考坐标正负
3. 恒等变形与图像——化成齐次式、研究单调区间和周期。这一层不再直接考定义，但每一步依据都能追回单位圆

三层越来越不依赖"看得见的圆"，但根始终扎在圆上。这也是学这一讲最值得花时间的原因——它是唯一一个能让后面十几讲内容从"背"变成"推"的支点。

思考与拓展

1. 已知 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，且 $\alpha$ 在第二象限，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$。
2. 不用计算器，判断 $\sin 200°$、$\cos 200°$、$\tan 200°$ 的正负。
3. 你能从单位圆定义出发，证明 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 对任意角 $\alpha$ 成立吗？
4. 如果圆的半径不是 1 而是 $r$，三角函数应该怎么定义？结果和半径为 1 时一样吗？
5. 已知 $\cos \alpha = -\dfrac{1}{2}$，且 $\alpha$ 为第二象限角，求 $\sin \alpha$ 和 $\tan \alpha$（先定绝对值，再定符号）。
6. 终边过点 $(3, 4)$，求这个角的正弦、余弦、正切（比值与点到原点的距离无关）。
7. 思考题：$\tan 90°$ 为什么不存在？如果有人说"$\tan 90°$ 等于无穷大"，从单位圆定义的角度指出这句话错在哪里。

高考母题

（2024·全国甲卷） 已知 $\frac { cosα } { cosα-sinα }=\sqrt{ 3 }$ ，则 $tan\left ( { α+\frac { { \pi } } { 4 } } \right )=$ （    ）

A．$2\sqrt{ 3 }+1$　　B．$2\sqrt{ 3 }-1$　　C．$\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }$　　D．$1-\sqrt{ 3 }$

展开详解

答案：B

【分析】先将 $\frac { cosα } { cosα-sinα }$ 弦化切求得 $tanα$ ，再根据两角和的正切公式即可求解. 因为 $\frac { cosα } { cosα-sinα }=\sqrt{ 3 }$ ， 所以 $\frac { 1 } { 1-tanα }=\sqrt{ 3 }$ ， $⇒tanα=1-\frac { \sqrt{ 3 } } { 3 }$ ， 所以 $tan\left ( { α+\frac { π } { 4 } } \right )=\frac { tanα+1 } { 1-tanα }=2\sqrt{ 3 }-1$ ， 故选：B.

一句话总结

三角函数就是单位圆上点的坐标——sin 是纵坐标，cos 是横坐标，tan 是纵比横。半径为 1，所以坐标本身就是比值。