第2讲 三角函数的定义——单位圆上的坐标

初中定义的局限

初中你学过：

$\sin \alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}},\quad \cos \alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\quad \tan \alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

这个定义简洁直观，但它有两个致命问题：

第一，只适用于锐角。 一旦角变成钝角、平角或者负角，直角三角形就不存在了，定义跟着失效。

第二，依赖具体的三角形。 同一个角放在不同大小的直角三角形里，算出来的比值确实相同——但这个"相同"需要额外证明，定义本身没有告诉你为什么。

这两个问题的根源在于：初中定义的三角函数是三角形的属性，而我们需要的是角的属性——角独立于任何三角形存在，它有自己的数值。

单位圆定义

把角放在平面直角坐标系里：顶点在原点，始边落在 $x$ 轴正半轴，终边转到一个位置，和单位圆交于点 $P(x, y)$。

定义：

$\cos \alpha = x, \quad \sin \alpha = y, \quad \tan \alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$

正弦是点的纵坐标，余弦是点的横坐标，正切是纵比横。

就这么简单。一个定义，同时解决两个问题：

• 角可以是任意实数——终边转到哪里都行，和单位圆总有一个交点
• 定义不依赖任何三角形——三角函数现在是角本身的属性

它和初中定义一致吗

对锐角来说，完全一致。

设 $\alpha$ 是锐角，终边与单位圆交于 $P(x, y)$。过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $M$。$\triangle OMP$ 是直角三角形，斜边 $OP = 1$，邻边 $OM = x$，对边 $PM = y$。

所以：

$\sin \alpha = \frac{PM}{OP} = \frac{y}{1} = y$

$\cos \alpha = \frac{OM}{OP} = \frac{x}{1} = x$

和初中定义一样。区别在于：单位圆定义把三角形"吸收"进了圆里——三角形是特例，圆是通则。

符号规律

从定义出发，各象限的符号一目了然：

象限	$x$	$y$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
一	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
二	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
三	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
四	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

记忆口诀："全正、正弦、正切、余弦"——第一象限全正，第二象限只有 sin 正，第三象限只有 tan 正，第四象限只有 cos 正。

这个规律很有用。比如你算出 $\sin \alpha > 0$，就知道 $\alpha$ 的终边在第一或第二象限；再结合 $\cos \alpha < 0$，就锁定在第二象限。

平方关系

点 $P(x, y)$ 在单位圆上，所以 $x^2 + y^2 = 1$。代入定义：

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

这就是平方关系——所有三角恒等式的根基。它不是一组需要背诵的公式，而是圆的方程直接翻译过来的一句话。

知道其中一个值，就能求另一个（需要配合象限判断符号）。这也是后面所有恒等变换的起点。

定义域

从单位圆看，定义域是显然的：

• $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$：任何角都有对应的点，定义域是 $\mathbb{R}$
• $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$：当 $\cos \alpha = 0$ 时无定义，即 $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

这就是为什么正切图像在 $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 处有断点——分母为零，函数没有意义。

在高中数学体系里的位置

单位圆定义是三角函数整个章节的基石。

后续的诱导公式（对称性）、同角关系（圆方程）、图像性质（点的运动轨迹）、恒等变换——全部从这里出发。理解了单位圆定义，这些内容都不需要死记，而是可以"推"出来的。

更重要的是，这个定义完成了三角函数从"解三角形的工具"到"基本初等函数"的身份升级。它不再依附于任何几何图形，而是一个独立的数学对象——这为后面学习导数、积分、级数打开了大门。

思考与拓展

1. 已知 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，且 $\alpha$ 在第二象限，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$。
2. 不用计算器，判断 $\sin 200°$、$\cos 200°$、$\tan 200°$ 的正负。
3. 你能从单位圆定义出发，证明 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 对任意角 $\alpha$ 成立吗？
4. 如果圆的半径不是 1 而是 $r$，三角函数应该怎么定义？结果和半径为 1 时一样吗？

一句话总结

三角函数就是单位圆上点的坐标——sin 是纵坐标，cos 是横坐标，tan 是纵比横。半径为 1，所以坐标本身就是比值。