空间向量与立体几何综合——用代数方法解决几何问题

从一个问题开始

前面11讲，我们学的全是"纯几何"的方法——用定义、公理、定理来推理。这种方法直观，但有时候很难找到突破口：辅助线该怎么作？二面角的平面角在哪里？点到平面的距离怎么找？

现在换一个思路：既然我们在平面解析几何里已经把"几何问题代数化"玩得很溜了，为什么不能把同样的方法搬到三维空间里来？

建立空间直角坐标系，给每个点赋予坐标，然后把几何关系翻译成向量运算——这就是空间向量法。它的最大优点是：思路固定，不需要灵感，建系、写坐标、套公式就行。

这一讲，我们系统地学习用空间向量解决立体几何的各类问题。

空间直角坐标系与空间向量

空间直角坐标系

在空间中取一个定点 $O$ 作为原点，过 $O$ 作三条两两互相垂直的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，这就建立了空间直角坐标系 $O\text{-}xyz$。

空间中任意一点 $P$，都可以用一个有序实数三元组 $(x, y, z)$ 来表示，叫做点 $P$ 的坐标。

右手系规则：右手拇指指向 $x$ 轴正方向，食指指向 $y$ 轴正方向，中指指向 $z$ 轴正方向。这是标准的空间直角坐标系。

空间向量的基本概念

空间向量和平面向量本质上是一样的，只是多了第三个分量。

向量的坐标表示：设 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，则向量 $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$。

向量的模：$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$。

向量的数量积：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$，其中 $\theta$ 是两向量的夹角。

用法向量判断平行与垂直

法向量的概念

平面的法向量：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线的方向向量就叫做这个平面的法向量。

一个平面有无数个法向量，它们的方向都相同（或相反）。通常我们只需要求出其中一个法向量。

用法向量证线面平行

设直线 $l$ 的方向向量为 $\overrightarrow{d}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}$。

$$l \parallel \alpha \iff \overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{n} \iff \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$

注意：线面平行还需要直线不在平面内。所以严格来说，线面平行的充要条件是 $\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{n} = 0$ 且直线上有一点不在平面内。

用法向量证线面垂直

$$l \perp \alpha \iff \overrightarrow{d} \parallel \overrightarrow{n} \iff \overrightarrow{d} = \lambda \overrightarrow{n} \quad (\lambda \neq 0)$$

即直线的方向向量与平面的法向量平行。

用法向量证面面平行

设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}$，平面 $\beta$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}$。

$$\alpha \parallel \beta \iff \overrightarrow{n_1} \parallel \overrightarrow{n_2}$$

用法向量证面面垂直

$$\alpha \perp \beta \iff \overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2} \iff \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0$$

求平面的法向量

求法向量是向量法的核心技能。设平面内有两个不共线的向量 $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$，设法向量为 $\overrightarrow{n} = (x, y, z)$，则由 $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{a} = 0$ 和 $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ 得到方程组：

$$\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + a_2 y + a_3 z = 0 \\ b_1 x + b_2 y + b_3 z = 0 \end{array} \right.$$

解这个方程组（通常令其中一个变量为自由未知数），即可得到一个法向量。

也可以用叉乘（向量积）直接求：$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$。叉乘的结果是一个同时垂直于 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的向量，正好就是平面的法向量。

叉乘的坐标公式：

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

用向量求空间角

线线角

设两条直线的方向向量分别为 $\overrightarrow{d_1}$ 和 $\overrightarrow{d_2}$，它们的夹角为 $\theta$（取锐角或直角），则：

$$\cos\theta = \frac{|\overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}||\overrightarrow{d_2}|} \qquad (10)$$

注意加绝对值——因为两条直线的夹角定义为锐角或直角，而向量的夹角可能是钝角。

线面角

设直线 $l$ 的方向向量为 $\overrightarrow{d}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}$，直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$，则：

$$\sin\theta = \frac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{n}|} \qquad (11)$$

为什么是正弦不是余弦？因为线面角是直线与它在平面上的射影之间的夹角，而 $\overrightarrow{d}$ 与 $\overrightarrow{n}$ 的夹角 $\phi$ 满足 $\theta = 90° - \phi$（或 $\theta = \phi - 90°$），所以 $\sin\theta = |\cos\phi|$。

这个公式非常容易记错，建议理解推导过程而不是死记。

二面角

设两个平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 的法向量分别为 $\overrightarrow{n_1}$ 和 $\overrightarrow{n_2}$，二面角的大小为 $\theta$，则：

$$\cos\theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|} \qquad (12)$$

注意：二面角的范围是 $[0°, 180°]$，而法向量夹角的范围也是 $[0°, 180°]$。但二面角可能是锐角也可能是钝角，需要用图形判断法向量夹角与二面角是相等还是互补。

判断方法：观察两个法向量的方向——如果两个法向量都指向二面角的内部或都指向外部，则法向量夹角与二面角互补；如果一个指向内部一个指向外部，则相等。

实际做题时，通常先算出 $|\cos\theta|$，再根据图形判断取锐角还是钝角。

示意图

用向量求距离

点到直线的距离

设点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，直线上一点为 $A$，直线的方向向量为 $\overrightarrow{d}$，则：

$$d = \frac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{|\overrightarrow{d}|} \qquad (13)$$

这个公式用到了叉乘的几何意义：$|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|$ 是以 $\overrightarrow{AP}$ 和 $\overrightarrow{d}$ 为邻边的平行四边形的面积，除以底边 $|\overrightarrow{d}|$ 就是高，即点到直线的距离。

点到平面的距离

设点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $d$，平面 $\alpha$ 上一点为 $A$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}$，则：

$$d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \qquad (14)$$

这个公式非常简洁，也很好理解：$\overrightarrow{AP}$ 在法向量 $\overrightarrow{n}$ 方向上的投影长度，就是点 $P$ 到平面的距离。

异面直线的距离

设异面直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方向向量分别为 $\overrightarrow{d_1}$ 和 $\overrightarrow{d_2}$，在 $l_1$ 上取一点 $A$，在 $l_2$ 上取一点 $B$，则公垂线方向为 $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}$。两异面直线间的距离为：

$$d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \qquad (15)$$

即向量 $\overrightarrow{AB}$ 在公垂线方向上的投影长度。

向量法 vs 几何法的选择策略

学了两套方法，考试时怎么选？这里有几条实用原则：

什么时候用向量法

1. 图形便于建系——如果有明显的垂直关系（如正方体、长方体、直角棱柱），建系很方便，优先用向量法
2. 求角或求距离——尤其是二面角和点到平面的距离，向量法公式固定，不容易出错
3. 证明题步骤多——向量法可以把证明转化为计算，步骤清晰，不容易丢分
4. 空间想象困难——如果你不容易想象出辅助线或截面，向量法是更安全的选择

什么时候用几何法

1. 图形简单、关系明显——比如证明线线平行，直接用判定定理可能比建系算坐标更快
2. 计算量很大——向量法虽然思路固定，但坐标写错了后面全错，而且计算量往往比几何法大
3. 求体积——几何法直接套公式，向量法反而要绕一圈
4. 第一问——解答题第一问通常比较简单，几何法更快

混合使用

很多时候两种方法配合使用效果最好。比如：用几何法证明垂直关系，再用向量法计算角度；或者先用几何法找到关键的垂直关系，再据此建系。

建议在高考中：第一问用几何法（快），第二问用向量法（稳）。 这是最常见的得分策略。

深入理解：向量法的注意事项

建系的关键

建系是向量法的第一步，也是最关键的一步。好的建系能让坐标非常简单，坏的建系会让计算复杂到怀疑人生。

建系原则：

1. 找一个顶点，让三条棱两两垂直（如正方体的一个顶点）
2. 让尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上
3. 如果找不到天然的正交顶点，可以找一个点作为原点，让它的三条邻边尽量互相垂直

常见错误

1. 坐标写错——这是最常见的错误，写坐标时要逐个分量检查
2. 法向量求错——解方程组时算错，或者叉乘算错
3. 公式用错——线面角用余弦而不是正弦，二面角忘了判断锐钝
4. 忽略"不在平面内"的条件——线面平行需要直线不在平面内，只证 $\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{n} = 0$ 不够

验算技巧

向量法计算量大，容易出错。养成验算的习惯很重要：

• 求完法向量后，代回验证是否与平面内两个向量都垂直
• 求完距离后，估计一下数量级是否合理
• 求完角度后，看看结果是锐角还是钝角，是否符合图形直观

在高中数学体系里的位置

空间向量是高中数学中连接代数与几何的重要桥梁。

思想延伸：空间向量法体现了"代数化"的数学思想——把几何问题转化为代数运算，用机械化的计算代替依赖灵感的几何推理。这种思想贯穿了整个高中数学：平面解析几何、圆锥曲线、立体几何都用到了类似的方法。掌握向量法，不仅是多了一种解题工具，更是理解"数学可以是算法"这一深刻思想的机会。

运算练兵场：向量法的优点是思路固定，缺点是计算量不小。一个小小的坐标错误就会导致全盘皆输。所以在平时练习中，要注重计算的准确性和速度，培养"一次做对"的习惯。同时，向量法也锻炼了你的空间想象能力——你需要知道每个点的坐标，这需要你对几何体的结构有清晰的认识。

综合题常客：高考中立体几何解答题通常为12分左右，第一问证明（平行或垂直），第二问求角或距离。向量法是解答题的标准做法，尤其是第二问，几乎每题都用向量法。建议熟练掌握向量法的完整流程，做到"建系→写坐标→求法向量→套公式"一气呵成。

思考与拓展

1. 在正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，建立空间直角坐标系，求平面 $AB_1D_1$ 的一个法向量。
2. 已知三棱锥 $P\text{-}ABC$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABC$，$PA = AB = AC = 2$，$\angle BAC = 90°$，求二面角 $P\text{-}BC\text{-}A$ 的大小。
3. 在正四面体 $ABCD$ 中，求异面直线 $AB$ 与 $CD$ 之间的距离。
4. 向量法和几何法各有什么优缺点？举例说明什么时候用向量法更合适，什么时候用几何法更合适。

高考母题

（2017·全国II卷） 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\frac { 1 } { 2 }AD,∠BAD=∠ABC=90 ^ { { o } } ,$ $E$ 是 $PD$ 的中点．
（1）证明：直线 $CE//$ 平面 $PAB$ ；
（2）点 $M$ 在棱 $PC$ 上，且直线 $BM$ 与底面 $ABCD$ 所成角为 $45 ^ { { o } }$ ，求二面角 $M-AB-D$ 的余弦值．

展开详解

（1）取 $PA$ 中点 $F$ ，连结 $EF$ ， $BF$ ． 因为 $E$ 为 $PD$ 的中点，所以 $EF//AD$ ， $EF=\frac { 1 } { 2 }AD$ ， 由 $∠BAD=∠ABC=90°$ 得 $BC//AD$ ，又 $BC=\frac { 1 } { 2 }AD$ ， 所以．四边形 $BCEF$ 为平行四边形， $CE//BF$ ． 又 $BF⊂平面PAB$ ， $CE⊄平面PAB$ ，故 $CE//平面PAB$ .
（2） $\frac { \sqrt{ 10 } } { 5 }$ 试题分析：
（1） 取 $PA$ 的中点 $F$ ，连结 $EF$ ， $BF$ ，由题意证得 $CE$ ∥ $BF$ ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量： $m=\left\{ ( { 0,-\sqrt{ 6 },2 } \right )$ ， $n=\left ( { 0,0,1 } \right )$ ，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角 $M-AB-D$ 的余弦值为 $\frac { \sqrt{ 10 } } { 5 }$ ． 试题解析：
（1）略
（2） 由已知得 $BA⊥AD$ ，以A为坐标原点， $\overset\rightharpoonup { AB }$ 的方向为x轴正方向， $\left | { \overset\rightharpoonup { AB } } \right |$ 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则 则 $A\left ( { 0\,，\,\,0\,，\,\,0 } \right )$ ， $B\left ( { 1\,，\,\,0\,，\,\,0 } \right )$ ， $C\left ( { 1\,，\,\,1\,，\,\,0 } \right )$ ， $P\left ( { 0\,，\,\,1\,，\,\,\sqrt{ 3 } } \right )$ ， $\overset\rightharpoonup { PC }=\left ( { 1，0，-\sqrt{ 3 } } \right )$ ， $\overset\rightharpoonup { AB }=\left ( { 1，0，0 } \right )$ ，则 $\overset\rightharpoonup { BM }=\left ( { x-1，y，z } \right ),\overset\rightharpoonup { PM }=\left ( { x，y-1，z-\sqrt{ 3 } } \right )$ ， 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而 $n=\left ( { 0，0，1 } \right )$ 是底面ABCD的法向量，所以 $\left | { cos\overset\rightharpoonup { BM },n } \right |=sin45 ^ { 0 }$ ， $\frac { \left | { { z } } \right | } { \sqrt{ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 }$ ， 即（x-1）²+y²-z²=0， 又M在棱PC上，设 $\overset\rightharpoonup { PM }=λ\overset\rightharpoonup { PC },则$ ${ x }=λ,y=1,z=\sqrt{ 3 }-\sqrt{ 3 }λ$ ， 由①，②得 $\left \{ \right\}\left ( { 舍去 } \right )，\left \{ \right.$ ， 所以M $\left ( { 1{ - }\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 },1，\frac { \sqrt{ 6 } } { 2 } } \right )$ ，从而 $\overset\rightharpoonup { AM }=\left ( { 1{ - }\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 },1，\frac { \sqrt{ 6 } } { 2 } } \right )$ ， 设 $m=\left ( { { x }_{ 0 } ,{ y }_{ 0 } ,{ z }_{ 0 } } \right )$ 是平面ABM的法向量，则 $\left \{ \right.即\left \{ \right.$ ， 所以可取 $\overset\rightarrow { m }=(0,-\sqrt{ 6 },2)$ .于是 $cosm,n=\frac { m⋅n } { \left | { m } \right |\left | { n } \right | }=\frac { \sqrt{ 10 } } { 5 }$ ， 因此二面角M-AB-D的余弦值为 $\frac { \sqrt{ 10 } } { 5 }$ 。 点睛：
（1）求解本题要注意两点：
①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m，n>|= $\frac { m⋅n } { \left | { m } \right |\left | { n } \right | }$ ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

一句话总结

空间向量法的核心流程：建系→写坐标→求法向量→套公式。线线角用余弦，线面角用正弦，二面角用法向量夹角但要判断锐钝。向量法思路固定不依赖灵感，几何法简洁快速，两者配合使用是高考的最佳策略。