第10讲 多面体——棱柱、棱锥、棱台

从一个问题开始

你见过金字塔吗？埃及的胡夫金字塔，是个四面全是三角形的锥体。你见过砖头吗？标准的砖头，是个六个面都是矩形的"胖盒子"。你见过某些铅笔的笔帽吗？那种上下一样粗、两端平行、侧面是长方形的，也是个常见的几何体。

这些物体抽象出来，就是立体几何中最基本的一类几何体——多面体。

这一讲，我们系统学习多面体家族里的三个重要成员：棱柱、棱锥、棱台。搞清楚了它们的定义和性质，后面算表面积和体积就有了地基。

多面体的基本概念

什么是多面体

用一个严格的定义来说：多面体是由若干个平面多边形围成的封闭几何体。

这里有三点要注意：

1. 围成多面体的每一个多边形，叫做多面体的面
2. 面的公共边叫做多面体的棱
3. 棱的公共端点叫做多面体的顶点

比如一个正方体，有6个面（都是正方形），12条棱，8个顶点。

凸多面体与非凸多面体

高中阶段我们主要研究凸多面体——把一个橡皮筋套在多面体的表面上，如果橡皮筋始终贴合表面而不穿进去，那它就是凸多面体。直观地说，凸多面体就是"没有凹进去的地方"的多面体。

非凸多面体（凹多面体）也有，但高中不考，了解即可。

棱柱

棱柱的定义

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

那两个互相平行的面，叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；侧面与侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

这个定义比较长，拆开理解：

• 有两个平行的面（底面）——这两个面形状完全一样、大小完全一样、而且互相平行
• 侧面的公共边（侧棱）都互相平行——这意味着侧面都是平行四边形

棱柱的分类

按底面多边形的边数来分：

• 底面是三角形的棱柱，叫做三棱柱
• 底面是四边形的棱柱，叫做四棱柱
• 底面是五边形的棱柱，叫做五棱柱
• ……

按侧棱和底面的位置关系来分：

• 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。直棱柱的侧面都是矩形。
• 正棱柱：底面是正多边形，而且是直棱柱。正棱柱是最"规矩"的棱柱。

举个例子：课本通常就是长方体，它是四棱柱，而且是直四棱柱（底面是矩形）。如果底面恰好是正方形，那就是正四棱柱。

棱柱的性质

棱柱有很多nice的性质，列几个最重要的：

1. 两个底面是全等的多边形，而且所在平面互相平行
2. 侧面都是平行四边形；直棱柱的侧面是矩形
3. 侧棱互相平行且相等
4. 过不相邻的两条侧棱的截面（叫做对角面），是平行四边形

用符号语言来表达底面和侧棱的关系：

$$\text{棱柱} ABCDEF\text{-}A'B'C'D'E'F' \implies \left\{ \begin{array}{l} \text{底面 } ABCDEF \cong A'B'C'D'E'F' \\ AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD' \parallel EE' \parallel FF' \\ AA' = BB' = CC' = DD' = EE' = FF' \end{array} \right.$$

深入理解：直棱柱与正棱柱的区别

这是很多同学容易混淆的地方。

直棱柱强调的是侧棱垂直于底面。只要侧棱和底面垂直，不管底面是什么多边形，都是直棱柱。

正棱柱则更进一步：底面必须是正多边形（各边相等、各角相等），并且还是直棱柱。

所以正棱柱一定是直棱柱，但直棱柱不一定是正棱柱。就像正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形。

示意图

棱锥

棱锥的定义

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥。

那个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的那些三角形面叫做棱锥的侧面；侧面与底面的公共边叫做棱锥的底边；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；所有侧棱的公共顶点叫做棱锥的顶点。

跟棱柱对比来看：

• 棱柱有两个平行的底面，棱锥只有一个底面
• 棱柱的侧面是四边形，棱锥的侧面是三角形
• 棱锥的侧面"汇聚"于一个顶点，棱柱的侧棱互相平行

正棱锥

底面是正多边形，且顶点在底面上的射影恰好是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥有几个非常重要的性质：

1. 各侧棱相等
2. 各侧面是全等的等腰三角形
3. 侧面等高（顶点到底面各边的距离相等，这个距离叫做棱锥的斜高）

注意：正棱锥的侧面是等腰三角形，但不一定是等边三角形。侧棱长和底边长可能不一样。

棱锥的性质

记一下棱锥的几个基本性质：

1. 底面是多边形，侧面是三角形，且所有侧面共用一个顶点
2. 过顶点和底面一条对角线所作的截面是三角形
3. 平行于底面的截面与底面相似，且面积比等于对应高的平方比

第三条非常重要。如果你用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的截面和底面是相似多边形。而且，截面面积 $S'$ 和底面面积 $S$ 的比，等于（截面到顶点的距离 $h'$）与（整个棱锥的高 $h$）的平方比：

$$\frac{S'}{S} = \left(\frac{h'}{h}\right)^2$$

这个结论在后面学棱台的时候还会反复用到。

棱台

棱台的定义

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

原来的棱锥叫做原棱锥，被截掉的上面的部分叫做截棱锥。

棱台的两个面——原来的底面和截面——叫做棱台的底面（下面大的叫下底面，上面小的叫上底面）；其余各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱。

棱台的性质

棱台的性质，可以从"它是由棱锥截出来的"这个角度来理解：

1. 两个底面是相似的多边形，而且所在平面互相平行
2. 侧面都是梯形
3. 各侧棱延长后交于一点（就是原棱锥的顶点）
4. 平行于底面的截面与底面相似，且面积比等于从顶点到截面距离的平方比

同样有那个平方比的关系：

$$\frac{S_{\text{上}}}{S_{\text{下}}} = \left(\frac{h_{\text{上}}}{h_{\text{下}}}\right)^2$$

其中 $h_{\text{上}}$ 是从原棱锥顶点到上底面的距离，$h_{\text{下}}$ 是从原棱锥顶点到下底面的距离。

多面体的要素统计与欧拉公式

数一数棱柱、棱锥、棱台的要素

我们不妨用 $n$ 表示底面多边形的边数，来统计一下各类多面体的面数 $F$、棱数 $E$、顶点数 $V$：

几何体	底面边数	面数 $F$	棱数 $E$	顶点数 $V$
棱柱	$n$	$n + 2$	$3n$	$2n$
棱锥	$n$	$n + 1$	$2n$	$n + 1$
棱台	$n$	$2n$	$3n$	$2n$

以三棱柱（$n=3$）为例验证：面数 $= 3+2=5$，棱数 $= 9$，顶点数 $= 6$。一个三棱柱确实有5个面（2个三角形底面 + 3个矩形侧面）、9条棱、6个顶点。没错。

欧拉公式

看着上面的表格，你有没有发现一个规律？

把每种多面体的 $F$、$E$、$V$ 代入计算 $F - E + V$：

• 三棱柱：$5 - 9 + 6 = 2$
• 四棱锥：$5 - 8 + 5 = 2$
• 三棱台：$6 - 9 + 6 = 3$……等等，不对？

让我们重新核实一下棱台的计数。三棱台：上底面3条边，下底面3条边，侧棱3条，共 $E = 9$ 条。上底面3个顶点，下底面3个顶点，共 $V = 6$ 个。面数 = 上底 + 下底 + 3个侧面 = $2 + 3 = 5$。所以 $F - E + V = 5 - 9 + 6 = 2$。之前表格里棱台面数写错了，应该是 $n+2$ 不是 $2n$。修正后：

几何体	面数 $F$	棱数 $E$	顶点数 $V$	$F - E + V$
棱柱	$n+2$	$3n$	$2n$	$(n+2)-3n+2n = 2$
棱锥	$n+1$	$2n$	$n+1$	$(n+1)-2n+(n+1) = 2$
棱台	$n+2$	$3n$	$2n$	$(n+2)-3n+2n = 2$

三种多面体，结果都是2！这不可能是巧合。

欧拉公式：对于任意凸多面体，都有 $F - E + V = 2$。

其中 $F$ 是面数，$E$ 是棱数，$V$ 是顶点数。

这个公式是1750年由瑞士数学家欧拉发现的，是拓扑学的一个奠基性结论。它的意义在于：不管多面体的形状多么复杂，只要它是凸的（没有洞、没有凹陷），面数减棱数加顶点数，结果永远是2。

你可以验证一下：正方体 $F=6, E=12, V=8$，$6-12+8=2$；正四面体 $F=4, E=6, V=4$，$4-6+4=2$。都对。

注意：欧拉公式在高中阶段是拓展内容，不要求证明，但要求会用自己的多面体验证它。遇到相关题目直接代入计算即可。

深入理解：欧拉公式的推广

如果多面体上有"洞"呢？比如一个空心管状的多面体（拓扑上等价于圆环面），欧拉公式就不再是2了，而是 $F - E + V = 0$。一般地，对于一个有 $g$ 个"洞"（亏格为 $g$）的曲面，欧拉示性数是 $2 - 2g$。

这部分超出高中范围，但了解后可以更好地理解为什么公式对"普通"多面体成立——本质上是因为球面（没有洞）的欧拉示性数是2。

在高中数学体系里的位置

多面体是立体几何中最基础的研究对象，它在高中数学体系中占据着承上启下的位置。

思想延伸：棱柱、棱锥、棱台的关系体现了数学中"特殊与一般"的思想。棱柱是特殊的棱台（上底面等于下底面），棱锥也可以看作特殊的棱台（上底面缩成一个点）。这种从一般到特殊的思维方式，在函数、方程等其他章节也反复出现。

运算练兵场：多面体的表面积和体积计算，是立体几何计算的基本功。棱柱体积 = 底面积 × 高，棱锥体积 = $\frac{1}{3}$ × 底面积 × 高，棱台体积 = $\frac{1}{3}h(S_{\text{上}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}} + S_{\text{下}})$。这些公式要理解推导过程，不要死记。

综合题常客：高考中多面体常出现在解答题中，可能结合空间向量、三视图、截面等问题。近年来还出现了与球结合的问题（多面体的外接球、内切球），难度有所提升。

思考与拓展

1. 一个多面体有12个面，每个面都是五边形，求它的棱数和顶点数。（提示：每个棱被两个面共用，每条棱连接两个顶点）
2. 证明：正四棱锥的所有侧棱相等，所有侧面是全等的等腰三角形。
3. 一个棱台的上底面面积是4，下底面面积是16，高是3。求这个棱台的体积。（提示：先求原棱锥的高）
4. 欧拉公式 $F - E + V = 2$ 对圆柱和圆锥成立吗？如果不成立，为什么？（提示：圆柱和圆锥的"面"不是多边形，它们不是多面体）

一句话总结

棱柱、棱锥、棱台是最基本的多面体——棱柱两底平行全等，棱锥侧面汇聚于顶点，棱台由平行截棱锥得到。凸多面体都满足欧拉公式 $F - E + V = 2$。