第8讲 空间中的角——异面直线所成角、线面角、二面角

从一个问题开始

你在一个房间里，天花板上有一条灯管，地板上有一条裂缝。灯管和裂缝是什么关系？——异面（不平行也不相交）。

你想知道灯管和裂缝「夹角」多大，怎么做？把它们平移到同一个平面里来量。

这就是空间角的核心思想：把空间中的角，搬到平面上去量。

异面直线所成的角

定义

已知两条异面直线 $a$ 和 $b$，经过空间任意一点 $O$，分别作 $a' \parallel a$，$b' \parallel b$，则 $a'$ 与 $b'$ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角。

范围：$0° < \theta \leq 90°$。

注意：角的取值范围是 $(0°, 90°]$，不包括 $0°$（否则就平行了），但可以取到 $90°$（此时两异面直线互相垂直）。

为什么要「平移」

两条异面直线不在同一个平面内，没法直接用量角器量。但角这个概念，只有在共面的两条射线之间才有意义。所以必须把其中一条（或两条）平移，让它们交于一点，才能在同一个平面内度量这个角。

平移到哪里都行——点 $O$ 是任意的。通常我们会选一个「好算」的位置，比如某条线段的中点，或者某个顶点。

求异面直线所成角的常见方法

1. 平移法：直接平移其中一条直线，使它们相交，然后解三角形
2. 向量法：用空间向量的数量积公式 $\cos\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，注意加绝对值（保证是锐角或直角）
3. 补形法：把图形补成棱柱或棱锥，让异面直线变成某个面上的相交直线

其中向量法是最通用的——不管图形多复杂，建立坐标系后算向量就行。

直线与平面所成的角

定义

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

特别规定：

• 如果直线垂直于平面，所成的角是 $90°$
• 如果直线平行于平面（或在平面内），所成的角是 $0°$

范围：$0° \leq \theta \leq 90°$。

怎么找射影

求线面角，关键是找斜线在平面内的射影。步骤：

1. 从斜线上一点（通常选斜足外的点）向平面作垂线
2. 垂足和斜足的连线，就是射影
3. 斜线和射影的夹角，就是线面角

简单说：找垂线 → 找垂足 → 连斜足 → 量夹角。

求线面角的向量公式

如果知道平面的法向量 $\vec{n}$ 和直线的方向向量 $\vec{v}$，那么线面角 $\theta$ 满足：

$$\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$$

注意这里是 $\sin\theta$ 而不是 $\cos\theta$——因为线面角是直线和法向量夹角的余角。

推导：设直线与法向量的夹角为 $\varphi$，则 $\theta + \varphi = 90°$，所以 $\sin\theta = \cos\varphi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$。

二面角

定义回顾

第7讲已经讲过二面角和它的平面角了。在这里我们复习一下：二面角 $\alpha\text{-}l\text{-}\beta$ 的平面角，是在棱 $l$ 上取一点，在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成的角。

范围：$0° < \theta < 180°$。

注意和二面角不同，异面直线所成的角和线面角的范围都只到 $90°$，但二面角可以到 $180°$——因为两个平面的夹角可以是锐角也可以是钝角，要看具体选哪个角。

求二面角的常见方法

1. 定义法：作出二面角的平面角，在三角形中求解
2. 三垂线定理法：利用三垂线定理或其逆定理，构造出平面角
3. 垂面法：找一个平面同时垂直于二面角的两个面，这个平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角
4. 向量法：求两个平面的法向量，计算法向量的夹角，再根据二面角的实际情况（锐角或钝角）确定最终答案

向量法求二面角时，如果两个法向量分别为 $\vec{n_1}$ 和 $\vec{n_2}$，则：

$$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$$

但要注意：这个公式给出的是法向量夹角的余弦值，而法向量夹角和二面角可能相等也可能互补——需要根据图形判断取 $\theta$ 还是 $180°-\theta$。

示意图

三种角的对比

角类型	定义	范围	核心方法
异面直线所成角	平移后相交直线的锐角	$(0°, 90°]$	平移或向量
线面角	斜线与射影的夹角	$[0°, 90°]$	找垂线、找射影
二面角	两个面的平面角	$(0°, 180°)$	作平面角或法向量

共同的核心思想

这三种角看似不同，但解题思路高度一致：把空间中的角，转化为平面中的角来求解。

• 异面直线：平移使其相交，在同一平面内量
• 线面角：找射影，斜线与射影在同一平面内
• 二面角：作平面角，两条垂线在同一平面内

这就是立体几何「降维」思想的集中体现——空间问题，最终都化归为平面问题。

典型例题

例1：正方体中的异面直线所成角

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角。

解：连接 $A_1D$、$DC_1$、$A_1C_1$。注意到 $A_1B \parallel D_1C$（正方体对面平行），所以异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角等于 $D_1C$ 与 $B_1C$ 所成的角，即 $\angle B_1CD_1$。

而 $\triangle B_1CD_1$ 是等边三角形（三条边都是面对角线，长度均为 $\sqrt{2}$ 倍棱长），所以 $\angle B_1CD_1 = 60°$。

即异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角为 $60°$。

例2：线面角的计算

在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABC$，$AB \perp AC$，$PA = AB = AC = 1$。求 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成的角。

解：因为 $PA \perp$ 平面 $ABC$，所以 $A$ 是 $P$ 在平面 $ABC$ 内的射影，$AC$ 是 $PC$ 在平面 $ABC$ 内的射影。

因此 $\angle PCA$ 就是 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成的角。

在 $\mathrm{Rt}\triangle PAC$ 中，$PA = AC = 1$，所以 $\tan \angle PCA = \frac{PA}{AC} = 1$，$\angle PCA = 45°$。

即 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $45°$。

例3：二面角的计算

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}C_1$ 的大小。

解：连接 $A_1C_1$ 交 $B_1D_1$ 于 $O_1$，连接 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$。连接 $A_1O$、$C_1O$。

因为 $A_1A \perp$ 平面 $ABCD$，所以 $A_1O$ 在平面 $ABCD$ 内的射影是 $AO$。而 $AO \perp BD$（正方形对角线互相垂直），由三垂线定理，$A_1O \perp BD$。同理 $C_1O \perp BD$。

所以 $\angle A_1OC_1$ 就是二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}C_1$ 的平面角。

设正方体棱长为 1，则 $A_1O = C_1O = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$A_1C_1 = \sqrt{2}$。

在 $\triangle A_1OC_1$ 中，由余弦定理：

$$\cos \angle A_1OC_1 = \frac{A_1O^2 + C_1O^2 - A_1C_1^2}{2 \cdot A_1O \cdot C_1O} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}$$

所以 $\angle A_1OC_1 = \arccos\!\left(-\frac{1}{3}\right)$。二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}C_1$ 的大小为 $\arccos\!\left(-\frac{1}{3}\right)$（钝二面角）。

在高中数学体系里的位置

空间角是立体几何的核心计算内容——它是第6、7讲垂直知识的综合应用，也是第9讲距离计算的基础。

思想延伸：三种空间角的核心思想高度一致——空间→平面。异面直线角靠平移，线面角靠射影，二面角靠平面角。理解了这一点，你就不需要死记硬背三种不同的方法，而是掌握了「降维」这一个通用策略。向量法的引入，更是把三种角统一到了同一个框架下：都是向量的夹角问题。

题型定位：空间角是高考立体几何解答题的重点考查内容。通常第二问就是求某个角（线面角或二面角），分值在5-7分。如果能熟练运用向量法，这类题基本上就是「建系→算向量→套公式」的程序化操作。

易错点：

1. 异面直线所成角忘了取锐角或直角（向量法要加绝对值）
2. 线面角用了 $\cos$ 而不是 $\sin$（混淆了线面角和线法向量夹角）
3. 二面角求出来后没有判断锐钝（法向量夹角可能是补角）
4. 找射影时作错了垂线（垂足找不对，整个角就错了）

思考与拓展

1. 在正四面体 $P-ABC$ 中，求异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成的角。
2. 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 3$，$AD = 4$，$AA_1 = 5$。求直线 $AC_1$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值。
3. 已知二面角 $\alpha\text{-}l\text{-}\beta$ 的大小为 $60°$，$P$ 为 $\alpha$ 内一点，$P$ 到 $l$ 的距离为 4，求 $P$ 到平面 $\beta$ 的距离。
4. 用向量法证明：两条异面直线所成角的余弦值等于它们方向向量夹角余弦的绝对值。

一句话总结

三种空间角的核心思想都一样：空间角化为平面角。异面直线角靠平移，线面角靠射影，二面角靠平面角；向量法统一了三者的计算——都归结为向量的夹角公式。