第7讲 平面与平面——垂直的判定与性质

从一个问题开始

教室的门，打开到一半的时候，门面和地面是什么关系？——垂直。

墙面和地面呢？也是垂直。

但数学上怎么判断两个平面垂直？垂直了又能推出什么？

和前面学过的平行关系一样，我们会发现：直接用定义很难（怎么证明「二面角是直二面角」？），所以也需要判定定理和性质定理。

二面角的定义与平面角

什么是二面角

先不急着说垂直，我们要从更一般的问题开始：两个相交平面，它们之间「张开的角度」是多少？

从一条直线出发的两个半平面，组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

记作：二面角 $\alpha-l-\beta$，其中 $l$ 是棱，$\alpha$ 和 $\beta$ 是两个面。

二面角的平面角

两个平面张开多少度？需要一个「度量标准」——这就是二面角的平面角。

在二面角的棱上任取一点，在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。

符号语言：设二面角 $\alpha-l-\beta$，点 $O \in l$，$OA \subset \alpha$，$OB \subset \beta$，$OA \perp l$，$OB \perp l$，则 $\angle AOB$ 是二面角 $\alpha-l-\beta$ 的平面角。

为什么这样定义是合理的？因为无论你选棱上哪个点，作出的平面角都是相等的——这个可以用全等三角形证明。所以我们说「二面角的大小」是确定的。

二面角的范围

二面角的平面角 $\theta$ 的范围是：$0° < \theta < 180°$。

• $\theta = 90°$ 时，二面角叫做直二面角，此时两个平面互相垂直
• $\theta < 90°$ 时，二面角是锐二面角
• $\theta > 90°$ 时，二面角是钝二面角

两个平面垂直的充要条件：它们所成的二面角是直二面角。

这就是面面垂直的定义。

示意图

面面垂直的判定定理

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

用符号语言写：

简单说就是：线面垂直 ⇒ 面面垂直。

直观理解

想象你拿一本书，让书脊（一条直线）竖直地插进桌面（平面 $\alpha$），然后让书页所在的平面（$\beta$）经过这条书脊。这时书页和桌面一定是垂直的——因为书脊垂直于桌面，而书页经过了这条垂线。

反过来想：生活中门和地面垂直，正是因为门轴（棱）垂直于地面，而且门面经过了门轴。

常见的判定方法

在立体几何题中，证明面面垂直通常有两种路径：

1. 用判定定理：在一个平面内找一条直线，证明这条直线垂直于另一个平面
2. 用量角器思想：作出二面角的平面角，证明它是 $90°$

第一种方法更常用——因为你已经有线面垂直的工具了（第6讲学的），直接拿来用就行。

面面垂直的性质定理

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

用符号语言写：

简单说就是：面面垂直 ⇒ 线面垂直。

为什么这个性质重要

这个性质是把「面面垂直」转化成「线面垂直」的桥梁。

有了第6讲的线面垂直判定，加上这个性质，我们就有了一个完整的转化链条：

• 判定：线面垂直 → 面面垂直
• 性质：面面垂直 → 线面垂直

这两个定理配合使用，是解决立体几何问题的核心武器。

记忆口诀

「面面垂直，里面找垂线；线面垂直，面里找交线。」

意思是：已知面面垂直，想证线面垂直，就在其中一个面内找一条垂直于交线的直线——这条直线就垂直于另一个面。

三垂线定理

定理内容

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

反过来也成立（逆定理）：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

这是一个非常有用的工具定理，下面展开。

符号语言

设 $PO \perp$ 平面 $\alpha$，$O$ 为垂足，$PA$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线，$A$ 为斜足，$OA$ 是 $PA$ 在平面 $\alpha$ 内的射影。$a$ 是平面 $\alpha$ 内的一条直线。

直观记忆

想象太阳光垂直照下来，你的影子（射影）和地面上的一条路垂直，那么你和这条路也垂直（斜线和你脚下的路垂直）。

或者更直接：射影是斜线在平面上的「投影」，如果地面上一根线与这个投影垂直，那它和原来的斜线也垂直——因为这条线既垂直于射影，又垂直于垂线（垂线垂直于整个平面），所以垂直于射影和垂线张成的平面，也就是斜线和垂线所在的平面，因此垂直于斜线。

和三垂线定理相关的常见题型

1. 证明线线垂直：已知线面垂直，要找平面内的一条直线和斜线垂直，先看它的射影
2. 求异面直线所成的角：用三垂线定理找到角所在的平面
3. 求点到直线的距离：构造垂线段

在高中数学体系里的位置

面面垂直是立体几何「垂直系列」的第二站——它建立在第6讲线面垂直的基础上，又为第8、9讲的空间角和距离计算提供了工具。

思想延伸：面面垂直的核心思想是「转化」——通过线面垂直来判定面面垂直，再通过面面垂直的性质回到线面垂直。这种来回转化的能力，是立体几何解题的基本功。三垂线定理进一步扩展了转化的工具箱，让「投影」成为连接空间与平面的桥梁。

题型定位：面面垂直的证明在高考中出现的频率中等，通常作为解答题的第一问或第二问出现。和线面垂直一样，步骤要写完整，条件不能少。空间角和距离的计算题，经常以面面垂直作为背景条件。

易错点：

1. 判定定理用错——忘了「一个平面经过另一个平面的垂线」这个前提
2. 性质定理找错线——要在「一个面内」找「垂直于交线」的直线，不是随便哪条线都行
3. 三垂线定理记混——射影垂直推出斜线垂直，别弄反方向
4. 作二面角的平面角时没保证「棱的两边都垂直于棱」

思考与拓展

1. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
   • （1）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
   • （2）如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
   • （3）如果三个平面两两垂直，那么它们的交线也两两垂直
2. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：平面 $ACC_1A_1 \perp$ 平面 $BDD_1B_1$。
3. 已知 $\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta = l$，$A \in \alpha$，$AB \perp l$，$B \in l$。求证：$AB \perp \beta$。
4. 在四面体 $P-ABC$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABC$，$\angle ABC = 90°$。求证：平面 $PAB \perp$ 平面 $PBC$。（提示：找线面垂直，再用性质定理）

一句话总结

面面垂直：判定是「一个面过另一个面的垂线」（线面→面面），性质是「面内垂直于交线的线垂直于另一个面」（面面→线面）。二面角用平面角度量，三垂线定理连接斜线与射影——所有垂直关系的转化，都在这一套工具里。