平面与平面——平行的判定与性质

从一个朴素的问题开始

天花板和地面，是什么关系？——平行。

墙面和地面，是什么关系？——相交（交于一条直线）。

这些我们生活中天天能看到的现象，抽象到立体几何里，就是「平面与平面的位置关系」。

但如果我问你：怎么严格地证明两个平面平行？ 你总不能说「因为它们看起来平行吧」。

这一讲，我们就来系统地搞清楚平面与平面平行的判定和性质。

两个平面的位置关系

两个不重合的平面，位置关系只有两种：

位置关系	公共点	符号语言	图形语言
两个平面平行	没有公共点	$\alpha \parallel \beta$	没有交点
两个平面相交	有一条公共直线	$\alpha \cap \beta = l$	交于一条直线

注意：两个平面不可能只有一个公共点。 这是公理3告诉我们的——如果两个平面有一个公共点，那它们一定有一条过该点的公共直线。所以两个平面要么平行（无公共点），要么相交（交于一条直线），没有中间状态。

示意图

两个平面平行的判定

怎么证明两个平面平行？

直接用定义的话，需要证明「两个平面没有公共点」——这几乎没法直接证，因为平面是无限延展的。所以我们需要判定定理。

面面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

用符号语言写：

$$\left. \begin{array}{l} a \subset \alpha,\ b \subset \alpha \\ a \cap b = P \\ a \parallel \beta,\ b \parallel \beta \end{array} \right\rbrace \implies \alpha \parallel \beta$$

简单说就是：线面平行 ⇒ 面面平行。

但这里有几个关键条件，一个都不能少：

1. 两条直线——只有一条不行。一个平面里有一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，它们完全可能相交。
2. 两条直线要相交——如果两条直线平行，也不行。你想啊，如果一个平面里有两条平行线都平行于另一个平面，那这两个平面完全可能相交（只要这两条线都平行于交线就行）。
3. 两条直线都要在第一个平面内——这个是题中应有之义。

所以判定定理的核心是：一个平面内的两条「相交」直线都平行于另一个平面，才能推出两个平面平行。

判定定理的推论

从判定定理还可以推出一个更方便用的结论：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

用符号写：

$$\left. \begin{array}{l} a \subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \cap b = P \\ a' \subset \beta,\ b' \subset \beta,\ a' \cap b' = Q \\ a \parallel a',\ b \parallel b' \end{array} \right\rbrace \implies \alpha \parallel \beta$$

这个推论有时候更好用——你不需要先证线面平行，只要在两个平面里各找到一对平行的相交直线，就能直接推出面面平行。

常见的证明思路

证明面面平行，常见的思路有：

1. 用判定定理：在一个平面里找两条相交直线，证明它们都平行于另一个平面
2. 用推论：在两个平面里各找两条相交直线，证明对应平行
3. 用传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面也互相平行（这个是可以证明的，和面面平行的传递性一样）
4. 用垂线：垂直于同一条直线的两个平面互相平行（这个要等学了面面垂直之后才能用）

其中第一种是最基本、最常用的。

两个平面平行的性质

知道了两个平面平行，能推出什么结论？

性质1：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

$$\alpha \parallel \beta,\ a \subset \alpha \implies a \parallel \beta$$

这个很直观——两个平面平行就没有公共点，一个平面里的直线当然和另一个平面也没有公共点，所以线面平行。

这就是面面平行 ⇒ 线面平行。

性质2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

$$\left. \begin{array}{l} \alpha \parallel \beta \\ \alpha \cap \gamma = a \\ \beta \cap \gamma = b \end{array} \right\rbrace \implies a \parallel b$$

这个就是面面平行的性质定理，也叫交线平行定理。

为什么交线一定平行？因为 $a$ 和 $b$ 都在第三个平面 $\gamma$ 里（共面），而且分别在两个平行平面里，所以它们不可能相交（如果相交，交点就在两个平面的交线上，和两个平面平行矛盾）。共面又不相交，那只能平行了。

这个定理非常重要——它是已知面面平行时，证明线线平行的主要方法。面面平行 ⇒ 线线平行。

其他性质

从面面平行还能推出很多结论：

• 夹在两个平行平面间的平行线段相等
• 平行平面间的距离处处相等（公垂线段的长度就是两个平行平面的距离）
• 经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行

这些结论都可以作为性质来用，但最核心的还是前面那两条。

平行关系的转化网络

现在我们已经学了三组平行关系：线线平行、线面平行、面面平行。把它们的判定和性质放在一起，就形成了一个完整的转化网络：

        判定              判定
线线平行 ———→ 线面平行 ———→ 面面平行
        ←———          ←———
        性质              性质

从左到右是判定（从低维到高维），从右到左是性质（从高维到低维）。

做立体几何的平行证明题，本质上就是在这个网络里找路径。 题目让你证线线平行，你可能需要先证线面平行甚至面面平行，再用性质退回来；题目让你证面面平行，你就要从线线平行出发，一步一步往上推。

这种「层层转化」的思想，是立体几何最精髓的东西。

在高中数学体系里的位置

面面平行是立体几何「平行系列」的最高峰——把线线、线面、面面全部打通了。

思想延伸：面面平行的学习，把之前学的所有平行知识串成了一个体系。从线线到线面再到面面，每上一个维度，判定定理都是「从低一维的平行来」，性质定理都是「退回到低一维的平行去」。这个模式非常工整，体现了数学的结构美。理解了这个结构，你就不是在记一堆零散的定理，而是掌握了一套方法。

题型定位：面面平行的证明在高考中出现的频率不如线面平行高，但它经常出现在解答题的第一问或第二问。考法主要有两种：一是直接证明面面平行，二是已知面面平行，用性质来求距离或者证线线平行。

易错点：

1. 判定定理忘了「两条相交直线」这个条件——两条平行线不行
2. 误以为「两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的所有直线」——不对，可能是异面
3. 性质定理不会用——不知道要作第三个平面去找交线
4. 证明步骤跳步——从线线直接跳到面面，不写中间的线面平行

思考与拓展

1. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
   • （1）如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
   • （2）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线和另一个平面内的所有直线都平行
   • （3）平行于同一条直线的两个平面互相平行
   • （4）垂直于同一条直线的两个平面互相平行（先猜一猜，后面学了垂直再验证）
2. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：平面 $AB_1D_1 \parallel$ 平面 $C_1BD$。
3. 已知 $\alpha \parallel \beta$，点 $A, C \in \alpha$，点 $B, D \in \beta$，且 $AB \parallel CD$。求证：$AB = CD$。
4. 「平行关系的转化网络」中，从「线线平行」到「面面平行」有几条不同的路径？分别是什么？

高考母题

（2022·新高考全国I卷） 如图，直三棱柱 $ABC-A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 }$ 的体积为4， $\vartriangle A_{ 1 } BC$ 的面积为 $2\sqrt{ 2 }$ ．
(1)求A到平面 $A_{ 1 } BC$ 的距离；
(2)设D为 $A_{ 1 } C$ 的中点， $AA_{ 1 } =AB$ ，平面 $A_{ 1 } BC⊥$ 平面 $ABB_{ 1 } A_{ 1 }$ ，求二面角 $A-BD-C$ 的正弦值．

展开详解

(1) $\sqrt{ 2 }$
(2) $\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }$ 【分析】
（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 $BC⊥$ 平面 $ABB_{ 1 } A_{ 1 }$ ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
（1）在直三棱柱 $ABC-A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 }$ 中，设点A到平面 $A_{ 1 } BC$ 的距离为h， 则 $V_{ A-A_{ 1 } BC } =\frac { 1 } { 3 }S_{ \vartriangle A_{ 1 } BC } ⋅h=\frac { 2\sqrt{ 2 } } { 3 }h=V_{ A_{ 1 } -ABC } =\frac { 1 } { 3 }S_{ \vartriangle ABC } ⋅A_{ 1 } A=\frac { 1 } { 3 }V_{ ABC-A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } } =\frac { 4 } { 3 }$ ， 解得 $h=\sqrt{ 2 }$ ， 所以点A到平面 $A_{ 1 } BC$ 的距离为 $\sqrt{ 2 }$ ；
（2）取 $A_{ 1 } B$ 的中点E,连接AE,如图，因为 $AA_{ 1 } =AB$ ，所以 $AE⊥A_{ 1 } B$ , 又平面 $A_{ 1 } BC⊥$ 平面 $ABB_{ 1 } A_{ 1 }$ ，平面 $A_{ 1 } BC∩$ 平面 $ABB_{ 1 } A_{ 1 } =A_{ 1 } B$ ， 且 $AE⊂$ 平面 $ABB_{ 1 } A_{ 1 }$ ，所以 $AE⊥$ 平面 $A_{ 1 } BC$ ， 在直三棱柱 $ABC-A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 }$ 中， $BB_{ 1 } ⊥$ 平面 $ABC$ ， 由 $BC⊂$ 平面 $A_{ 1 } BC$ ， $BC⊂$ 平面 $ABC$ 可得 $AE⊥BC$ ， $BB_{ 1 } ⊥BC$ ， 又 $AE,BB_{ 1 } ⊂$ 平面 $ABB_{ 1 } A_{ 1 }$ 且相交，所以 $BC⊥$ 平面 $ABB_{ 1 } A_{ 1 }$ ， 所以 $BC,BA,BB_{ 1 }$ 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得 $AE=\sqrt{ 2 }$ ，所以 $AA_{ 1 } =AB=2$ ， $A_{ 1 } B=2\sqrt{ 2 }$ ，所以 $BC=2$ ， 则 $A\left\{ ( { 0,2,0 } \right ),A_{ 1 } \left ( { 0,2,2 } \right ),B\left ( { 0,0,0 } \right ),C\left ( { 2,0,0 } \right )$ ,所以 $A_{ 1 } C$ 的中点 $D\left ( { 1,1,1 } \right )$ ， 则 $\overset\rightharpoonup { BD }=\left ( { 1,1,1 } \right )$ ， $\overset\rightharpoonup { BA }=\left ( { 0,2,0 } \right ),\overset\rightharpoonup { BC }=\left ( { 2,0,0 } \right )$ , 设平面 $ABD$ 的一个法向量 $m=\left ( { x,y,z } \right )$ ，则 $\left \{ \right\}$ ， 可取 $m=\left ( { 1,0,-1 } \right )$ ， 设平面 $BDC$ 的一个法向量 $n=\left ( { a,b,c } \right )$ ，则 $\left \{ \right.$ ， 可取 $n=\left ( { 0,1,-1 } \right )$ ， 则 $cosm,n=\frac { m⋅n } { \left | { m } \right |⋅\left | { n } \right | }=\frac { 1 } { \sqrt{ 2 }×\sqrt{ 2 } }=\frac { 1 } { 2 }$ ， 所以二面角 $A-BD-C$ 的正弦值为 $\sqrt{ 1-\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }$ .

一句话总结

面面平行的判定：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面。性质：两个平行平面被第三个平面所截，交线平行。整个平行体系就是线线→线面→面面，不断转化。