数列综合——当数列遇上函数与不等式

为什么数列总出压轴题

高考数学的压轴题，经常有数列的身影。

为什么是数列？因为数列是一个天然的"交汇点"——

• 它和函数连着：数列就是离散的函数，单调性、最值、图像，全是函数那套东西
• 它和不等式连着：数列求和的放缩、数列不等式的证明，是不等式技巧的绝佳舞台
• 它自己本身还有递推、通项、求和一大套东西

所以一道数列综合题，可以同时考察你好几个板块的掌握程度。这就是为什么它特别适合放在压轴的位置——真正能把水平高的学生和中等学生拉开差距。

这一讲，我们就来看看数列和函数、不等式是怎么交汇的，以及常见的综合题都有哪些套路。

示意图

交汇一：数列与函数——同根同源

数列和函数的关系，我们从第一讲就开始说了：数列是定义在正整数集上的函数，$a_n = f(n)$。

这个关系至少体现在以下几个层面：

1. 通项与函数解析式

等差数列的通项 $a_n = dn + (a_1 - d)$ 对应一次函数，等比数列的通项 $a_n = \dfrac{a_1}{q} \cdot q^n$ 对应指数函数。

知道了这个对应关系，很多性质就不用死记了——

• 一次函数的单调性由斜率决定 → 等差数列的单调性由公差决定
• 指数函数的增长速度比多项式快 → 等比数列增长（q>1 时）比任何多项式数列都快
• 二次函数的图像是抛物线 → 等差数列前 n 项和的图像是抛物线上的点

2. 函数方法在数列中的应用

虽然数列是离散的，不能直接求导，但函数的思想完全可以用过来。

比如求数列的最大项，你可以：

• 把 $n$ 换成 $x$，对连续函数 $f(x)$ 求导找极值点
• 找到极值点后，比较附近两个整数点的函数值

再比如判断数列的单调性，你可以：

• 看 $f(x)$ 的单调性，如果 $f(x)$ 单调，那对应的数列当然也单调
• 但要注意：$f(x)$ 不单调的时候，数列可能还是单调的——因为你只取整数点，可能刚好只取了单调的那一段

3. 函数思想的陷阱

函数思想好用，但不能乱用。最常见的陷阱：

"f(x) 递增" 不等价于 "数列 aₙ 递增"。

准确地说：如果 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上递增，那么数列 $a_n = f(n)$ 一定递增。这个方向是对的。

但反过来，如果数列 $a_n = f(n)$ 递增，$f(x)$ 不一定递增。比如 $f(x) = x^2 - 2.5x$，对应的数列 $a_n = n^2 - 2.5n$ 从 $n=1$ 开始就是递增的，但 $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 之间还有一个极小值点。

所以：函数单调 → 数列单调；但数列单调，函数未必单调。 这个方向关系要搞清楚。

交汇二：数列与不等式——放缩的艺术

数列和不等式的结合，是高考数列压轴题最经典的模式。

常见的考法有两种：

类型一：数列求和型不等式

就是要你证明一个数列的前 n 项和小于（或大于）某个常数。

比如：证明 $1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2} < 2$。

这种题的核心技巧是放缩法——把每一项放大或缩小一点，让放缩后的和能求出来，而且刚好能得到要证的不等式。

放缩的方法很多，常见的有：

方法一：裂项放缩

把通项放缩成可以裂项相消的形式。比如：

$$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \quad (n \ge 2)$$

这样放缩之后，求和就可以用裂项相消了。

放缩的关键是尺度要合适——放得太大，最后结果超了，证明不出来；放得太小，又起不到简化的作用。

方法二：等比放缩

把通项放缩成等比数列的形式，然后用等比求和。

比如要证明 $\dfrac{1}{2^1 - 1} + \dfrac{1}{2^2 - 1} + \ldots + \dfrac{1}{2^n - 1} < 2$，可以把分母缩小一点（整个分数变大），放缩成等比数列：

$$\frac{1}{2^n - 1} < \frac{1}{2^{n-1}}$$

然后右边就是一个等比数列求和，和为 2，正好证出来。

方法三：数学归纳法

对于和正整数 n 有关的不等式，数学归纳法永远是一个备选方案。尤其是当放缩不好找的时候，归纳法往往能硬做出来。

类型二：递推型不等式

给你一个递推关系，让你证明某些不等式。

比如：已知 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + a_n^2}$，证明 $a_n > 0$，$a_{n+1} < a_n$，等等。

这种题的核心是从递推关系出发，用不等式的性质进行推导。常见的技巧有：

• 作差比较：算 $a_{n+1} - a_n$，证明它大于 0 或小于 0
• 作商比较：算 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$，证明它大于 1 或小于 1
• 数学归纳法：归纳假设 $a_k$ 满足某个不等式，推出 $a_{k+1}$ 也满足
• 放缩法：把递推式放缩一下，得到更容易处理的关系

递推型不等式的难点在于，你得有"方向感"——知道往哪个方向推、放缩到什么程度合适。这个能力只能靠多做题来培养。

交汇三：函数 + 数列 + 不等式——三重交汇

最难的压轴题，通常是三个领域都涉及。

比如这样的结构：

1. 给一个函数 $f(x)$
2. 定义一个数列：$a_{n+1} = f(a_n)$（函数迭代）
3. 让你证明关于这个数列的某些不等式，或者求某些极限

这种题的特点是：函数提供递推关系，数列是研究对象，不等式是考察手段。

做这种题的一般步骤：

第一步：理解递推关系。 $a_{n+1} = f(a_n)$ 是什么意思？就是每次把得到的结果再代入函数算一次，无限迭代下去。

第二步：研究函数 f(x) 的性质。 它是增函数还是减函数？有没有不动点（f(x)=x 的解）？值域是什么？这些都会影响数列的行为。

第三步：分析数列的行为。 数列是递增还是递减？有没有极限？极限是多少（如果存在的话）？

第四步：用不等式证明。 根据题目要求，用放缩、归纳、作差等方法证明相应的结论。

这种题虽然看起来难，但每一步都不是完全没思路的。函数的性质你会分析，数列的单调性你会判断，不等式的方法你也学过——关键是能不能把它们串起来用。

做综合题的思维方式

面对一道数列综合题，很多同学容易慌——题干又长又复杂，不知道从哪下手。

分享几个实用的思路：

思路一：从简单情况入手

如果题目给了递推关系，但你完全不知道数列长什么样，那就先算前几项看看。

$a_1$ 是多少？$a_2$ 呢？$a_3$ 呢？$a_4$ 呢？

算个三五项，往往就能看出点规律——是递增还是递减？大概趋向什么值？增长速度怎么样？

有了直觉，再去想怎么证明，就有方向了。

思路二：从结论倒推

题目让你证明什么？要证这个结论，你需要什么条件？要得到那个条件，你又需要什么？

一步一步往回推，推到某个条件你能从已知条件得到，思路就通了。

这就是分析法的思路——从结论出发，找充分条件。特别适合不等式证明。

思路三：把陌生的变熟悉

综合题看起来花里胡哨，其实都是用你学过的基础知识拼出来的。

遇到陌生的递推？想办法用构造法变成等差或等比。 遇到不会求的和？试试分组、裂项、错位相减。 遇到不等式？试试放缩、归纳、作差。

永远把陌生的问题，往熟悉的东西上靠。 这就是化归思想，也是数学里最通用的解题策略。

在高中数学体系里的位置

数列综合题，是整个高中数学的"集大成者"之一。

它的地位体现在几个方面：

第一，考察面广。 一道数列综合题，可以同时考函数、数列、不等式三个大块，甚至还能夹杂导数、数学归纳法、三角函数等等。

第二，区分度高。 基础题大家都会，难题大家都不会，但数列综合题能把不同层次的学生准确地区分开——基础不牢的第一问就卡住，中等生能做前两问，真正高手才能把第三问做出来。

第三，思想方法丰富。 化归思想、函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想——这些高中数学的核心思想方法，在数列综合题里都能找到用武之地。

所以学好数列综合题，不只是为了高考那十几分，更是对整个高中数学思维方式的一次综合训练。

这门课的结语

数列专题到这里就全部结束了。

我们从最朴素的"按顺序排列的数"出发，一路走了很远：

• 认识了数列的本质——离散的函数
• 学会了四种表示法——列举、通项、图像、递推
• 深入研究了两个最重要的特殊数列——等差和等比，从定义到性质到求和
• 掌握了递推数列的基本解法——累加、累乘、构造
• 学会了四种求和方法——公式、分组、裂项、错位相减
• 理解了数列的单调性和最值——和函数像，但又不完全像
• 最后看到了数列如何与函数、不等式交汇，构成高考压轴题

回头看，12 讲的内容其实就围绕着一个核心：用函数的眼光看数列，用化归的思想解数列。

记住了这个核心，公式忘了可以推，方法忘了可以想，遇到新题也能找到方向。

希望这 12 讲，不只是让你学会了数列的知识，更让你体会到一点——数学是一个整体，不同的分支之间，思想是相通的。

思考与拓展

1. 设 $a_1 = \sqrt{2}$，$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$。

   • 计算前 5 项，观察数列的行为
   • 证明 $a_n < 2$（提示：数学归纳法）
   • 证明数列是递增的
   • 如果数列有极限，极限是多少？（先猜，再想想怎么证）

2. 证明：$\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2} < \dfrac{7}{4}$。 （提示：从第 3 项开始放缩，放缩成裂项形式，而且要放得比 $\dfrac{1}{n(n-1)}$ 更紧一点）

3. 你觉得学完整个数列专题，最重要的是什么？是公式、方法，还是思想？

高考母题

（2022·全国甲卷） 记 $S_{ n }$ 为数列 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 的前n项和．已知 $\frac { 2S_{ n } } { n }+n=2a_{ n } +1$ ．
(1)证明： $\left \{ a_{ n } \right \}$ 是等差数列；
(2)若 $a_{ 4 } ,a_{ 7 } ,a_{ 9 }$ 成等比数列，求 $S_{ n }$ 的最小值．

展开详解

(1)证明见解析；
(2) $-78$ ． 【分析】
（1）依题意可得 $2S_{ n } +n ^ { 2 } =2na_{ n } +n$ ，根据 $a_{ n } =\left \{ \right\}$ ，作差即可得到 $a_{ n } -a_{ n-1 } =1$ ，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 $a_{ 1 }$ ，即可得到 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 的通项公式与前 $n$ 项和，再根据二次函数的性质计算可得．
（1）因为 $\frac { 2S_{ n } } { n }+n=2a_{ n } +1$ ，即 $2S_{ n } +n ^ { 2 } =2na_{ n } +n$
①， 当 $n≥2$ 时， $2S_{ n-1 } +\left\{ ( { n-1 } \right ) ^ { 2 } =2\left ( { n-1 } \right )a_{ n-1 } +\left ( { n-1 } \right )$
②，
① $-$
②得， $2S_{ n } +n ^ { 2 } -2S_{ n-1 } -\left ( { n-1 } \right ) ^ { 2 } =2na_{ n } +n-2\left ( { n-1 } \right )a_{ n-1 } -\left ( { n-1 } \right )$ ， 即 $2a_{ n } +2n-1=2na_{ n } -2\left ( { n-1 } \right )a_{ n-1 } +1$ ， 即 $2\left ( { n-1 } \right )a_{ n } -2\left ( { n-1 } \right )a_{ n-1 } =2\left ( { n-1 } \right )$ ，所以 $a_{ n } -a_{ n-1 } =1$ ， $n≥2$ 且 $n∈{ N }{ * }$ ， 所以 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 是以 $1$ 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得 $a_{ 4 } =a_{ 1 } +3$ ， $a_{ 7 } =a_{ 1 } +6$ ， $a_{ 9 } =a_{ 1 } +8$ ， 又 $a_{ 4 }$ ， $a_{ 7 }$ ， $a_{ 9 }$ 成等比数列，所以 $a_{ 7 } ^ { 2 } =a_{ 4 } ⋅a_{ 9 }$ ， 即 $\left ( { a_{ 1 } +6 } \right ) ^ { 2 } =\left ( { a_{ 1 } +3 } \right )⋅\left ( { a_{ 1 } +8 } \right )$ ，解得 $a_{ 1 } =-12$ ， 所以 $a_{ n } =n-13$ ，所以 $S_{ n } =-12n+\frac { n\left ( { n-1 } \right ) } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }n ^ { 2 } -\frac { 25 } { 2 }n=\frac { 1 } { 2 }\left ( { n-\frac { 25 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -\frac { 625 } { 8 }$ ， 所以，当 $n=12$ 或 $n=13$ 时， $\left ( { S_{ n } } \right )_{ min } =-78$ ． [方法二]：【最优解】
邻项变号法 由（1）可得 $a_{ 4 } =a_{ 1 } +3$ ， $a_{ 7 } =a_{ 1 } +6$ ， $a_{ 9 } =a_{ 1 } +8$ ， 又 $a_{ 4 }$ ， $a_{ 7 }$ ， $a_{ 9 }$ 成等比数列，所以 $a_{ 7 } ^ { 2 } =a_{ 4 } ⋅a_{ 9 }$ ， 即 $\left ( { a_{ 1 } +6 } \right ) ^ { 2 } =\left ( { a_{ 1 } +3 } \right )⋅\left ( { a_{ 1 } +8 } \right )$ ，解得 $a_{ 1 } =-12$ ， 所以 $a_{ n } =n-13$ ，即有 $a_{ 1 } < a_{ 2 } < \cdots < a_{ 12 } < 0,a_{ 13 } =0$ . 则当 $n=12$ 或 $n=13$ 时， $\left ( { S_{ n } } \right )_{ min } =-78$ ． 【整体点评】
（2）法一：根据二次函数的性质求出 $S_{ n }$ 的最小值，适用于可以求出 $S_{ n }$ 的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

一句话总结

数列综合题的本质是化归——把递推化成通项，把求和化成等差等比，把陌生的化成熟悉的。掌握了化归，就掌握了数列的灵魂。