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数列 · 第 3 讲 · 2026-08-30 · 约 9 分钟

等差数列——"每次加同一个数"的朴素规律

等差数列是最朴素也最重要的数列之一。它的本质是线性增长——每一步迈同样高。理解了这一点，通项公式根本不需要死记硬背。

从台阶说起

你爬过楼梯吧？

每一级台阶的高度都一样。走完第 1 级，你升高了 hh；走完第 2 级，你升高了 2h2h；走完第 3 级，升高了 3h3h……

如果把每一级台阶顶部的高度记下来，就是一串数：

h, 2h, 3h, 4h, 5h, …h,\ 2h,\ 3h,\ 4h,\ 5h,\ \ldots

这串数字有一个鲜明的特点：后一项减前一项，永远等于同一个数。

这就是我们这一讲的主角——等差数列。

等差数列的定义

教科书上的定义是：

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 dd 表示。

用递推的语言写出来就是：

an−an−1=d(n≥2)a_n - a_{n-1} = d \quad (n \ge 2)

或者写成：

an=an−1+d(n≥2)a_n = a_{n-1} + d \quad (n \ge 2)

这是等差数列最本质的描述——后一项 = 前一项 + 公差。

注意定义里的几个细节：

  1. "从第 2 项起"——因为第 1 项没有前一项，所以没法比
  2. "同一个常数"——这个差必须始终不变，变了就不是等差了
  3. 公差 dd 可以是正数、负数，也可以是 0
    • d>0d > 0：递增数列（比如 1,2,3,4,…1, 2, 3, 4, \ldots）
    • d<0d < 0：递减数列（比如 10,8,6,4,…10, 8, 6, 4, \ldots）
    • d=0d = 0：常数列（比如 5,5,5,5,…5, 5, 5, 5, \ldots）

常数列是公差为 0 的等差数列——这是一个容易忽略的特例，做题时经常要单独考虑。

示意图

等差数列示意图：台阶与公差

每一级台阶比前一级高出 d，顶部连成的虚线就是一次函数的图像——这不是巧合

通项公式是怎么来的

很多同学学等差数列，一上来就背：

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

背是能背下来，但你有没有问过：为什么是 (n−1)d(n-1)d？为什么不是 ndnd？

其实这个公式根本不需要背，你顺着递推关系往下写几步就出来了：

a1=a1+0⋅da2=a1+1⋅da3=a2+d=a1+2⋅da4=a3+d=a1+3⋅d…an=a1+(n−1)⋅d\begin{aligned} a_1 &= a_1 + 0 \cdot d \\ a_2 &= a_1 + 1 \cdot d \\ a_3 &= a_2 + d = a_1 + 2 \cdot d \\ a_4 &= a_3 + d = a_1 + 3 \cdot d \\ &\ldots \\ a_n &= a_1 + (n-1) \cdot d \end{aligned}

看出来了吗？第 nn 项就是在首项的基础上，加了 (n−1)(n-1) 次公差。因为从第 1 项到第 nn 项，中间有 (n−1)(n-1) 个间隔，每个间隔是 dd，所以一共加了 (n−1)d(n-1)d。

这就是通项公式的来历——首项 + (n-1)个公差。

一个好的直觉：把等差数列想象成走路。a1a_1 是你的起点，dd 是你每一步的长度，走了 (n−1)(n-1) 步之后到达 ana_n。第 nn 项和起点之间有 (n−1)(n-1) 个"步"，不是 nn 个。

更一般的通项形式

如果你知道的不是首项 a1a_1，而是第 mm 项 ama_m，怎么求 ana_n？

还是用刚才那个"走路"的直觉：从第 mm 项走到第 nn 项，走了 (n−m)(n-m) 步，每步 dd，所以：

an=am+(n−m)da_n = a_m + (n-m)d

这个公式比 an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d 更一般，也更灵活。做题的时候经常会遇到"已知 a5=10a_5 = 10，求 a8a_8"这种情况，用这个公式直接算就行，不用先求 a1a_1。

验证一下也很简单：

an−am=[a1+(n−1)d]−[a1+(m−1)d]=(n−m)da_n - a_m = [a_1 + (n-1)d] - [a_1 + (m-1)d] = (n-m)d

没错，两个式子是等价的。

从函数视角看等差数列

上一讲我们说数列是定义在正整数集上的函数。那等差数列是什么函数？

把通项公式改写一下：

an=a1+(n−1)d=d⋅n+(a1−d)a_n = a_1 + (n-1)d = d \cdot n + (a_1 - d)

令 k=dk = d，b=a1−db = a_1 - d，那么：

an=kn+ba_n = kn + b

这就是一个关于 nn 的一次函数（当 d≠0d \neq 0 时）。

所以：

  • 等差数列的图像是一条直线上的孤立点——这就是为什么示意图里台阶顶端的虚线是直的
  • 公差 dd 就是这条直线的斜率——d>0d > 0 直线上升，d<0d < 0 直线下降，d=0d = 0 是水平线
  • 首项 a1a_1 是 n=1n=1 时的函数值，不是截距（截距是 a1−da_1 - d，对应 n=0n=0 的位置，但 nn 不能为 0）

这个视角有什么用？用处大了。

比如判断一个数列是不是等差数列，你就看它的通项是不是 nn 的一次函数。反过来，如果一个数列的通项是 nn 的一次函数，那它一定是等差数列，公差就是一次项系数。

再比如，知道等差数列的两项求公差，本质上就是"知道直线上两点求斜率"：

d=an−amn−md = \frac{a_n - a_m}{n - m}

这不就是斜率公式 y2−y1x2−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} 吗？完全一样。

判断等差数列的三种方法

给你一个数列，怎么判断它是不是等差数列？有三种常用方法：

方法一：定义法

直接验证 an−an−1=da_n - a_{n-1} = d（常数）对所有 n≥2n \ge 2 成立。

这是最根本的方法，也是证明题里最常用的方法。

方法二：通项公式法

看通项是不是 nn 的一次函数，即 an=kn+ba_n = kn + b 的形式。

如果是，那就是等差数列，公差 d=kd = k。

方法三：中项法

验证 2an=an−1+an+12a_n = a_{n-1} + a_{n+1} 对所有 n≥2n \ge 2 成立。

意思是：每一项都是它前后两项的平均值。这个我们下一讲会详细讲。

三种方法里，定义法是根基，其他两种都是从定义推导出来的。做题的时候选最方便的那个就行。

一个容易错的地方

很多同学刚学等差数列的时候，会遇到这样的题：

等差数列 {an}\{a_n\} 中，a3=5a_3 = 5，a7=13a_7 = 13，求 a10a_{10}。

最朴素的做法：列方程求 a1a_1 和 dd，再代入求 a10a_{10}。

{a1+2d=5a1+6d=13\begin{cases} a_1 + 2d = 5 \\ a_1 + 6d = 13 \end{cases}

解得 d=2d = 2，a1=1a_1 = 1，所以 a10=1+9×2=19a_{10} = 1 + 9 \times 2 = 19。

但更快的做法是用刚才那个一般公式：

d=a7−a37−3=13−54=2d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{13 - 5}{4} = 2 a10=a7+(10−7)d=13+3×2=19a_{10} = a_7 + (10 - 7)d = 13 + 3 \times 2 = 19

两种方法结果一样，但第二种少算一个 a1a_1，省一步，也少一个出错的机会。

题目做多了你会发现，很多时候你根本不需要知道首项是多少，直接用两项之间的关系就能解题。这就是"走路"直觉的好处——你关心的是走了几步、每步多长，而不是起点在哪里。

在高中数学体系里的位置

等差数列是整个数列章节的基石。

它是你系统学习的第一种特殊数列，也是最简单的一种——正因为简单，所以它承载了很多基本思想方法的示范作用：

  • 从递推关系推导通项公式（累加法的雏形）
  • 从函数视角理解数列（一次函数对应等差数列）
  • 用代数方法研究数列的性质

后面学等比数列的时候，你会发现整个结构几乎是平行的：定义→通项→性质→求和，连研究方法都一模一样。等差学好了，等比就是换了一套公式，思路完全一样。

在高考中，等差数列单独出题通常是选择或填空题，难度不大。但它经常作为综合题的一部分出现——比如数列大题的第一问求通项，很可能就是先证明一个新数列是等差（或等比），然后再往下做。

所以等差数列这部分，不能只停留在"会套公式"的层面，要把它当成理解数列一般规律的一个样板来学。

思考与拓展

  1. 等差数列 {an}\{a_n\} 中，a5+a9=20a_5 + a_9 = 20，能直接求出 a7a_7 吗？为什么？（这是下一讲的伏笔）
  2. 已知数列 {an}\{a_n\} 的通项公式是 an=3n−2a_n = 3n - 2，请用三种不同的方法证明它是等差数列。
  3. 如果 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 都是等差数列，那么 {an+bn}\{a_n + b_n\} 是不是等差数列？{an⋅bn}\{a_n \cdot b_n\} 呢？为什么？
  4. 在等差数列中，am=na_m = n，an=ma_n = m（m≠nm \neq n），求 am+na_{m+n}。你能用"走路"的直觉直接看出答案吗？

高考母题

（2026·天津） 已知等差数列 {an}\left \{ a_{ n } \right \} 与等比数列 {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 满足： a1=2a_{ 1 } =2 ， b1=1b_{ 1 } =1 ， a2=b1+b2a_{ 2 } =b_{ 1 } +b_{ 2 } ， a4=b3−b1a_{ 4 } =b_{ 3 } -b_{ 1 } ．
(1)求数列 {an}\left \{ a_{ n } \right \} ， {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 的通项公式；
(2)记 En={x∈R{∣x}≤nE_{ n } =\left \{ x∈R\left\{ | { x } \right\}≤n \right. ， ∃k∈N∗∃k∈N ^ { * } ， x=akx=a_{ k } 或 x=bk}x=b_{ k } \} ，记 cnc_{ n } 为 EnE_{ n } 中的元素个数． （i）求 c3nc_{ 3 ^ { n } } ； （ii）求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm∑ \limits_{ m=1 } ^{ 3 ^ { n } -1 } { (-1) ^ { m } }⋅a_{ m } ⋅c_{ m } ．

展开详解

(1) an=2n,bn=3n−1a_{ n } =2n,b_{ n } =3 ^ { n-1 }
(2)（i） c3n=12⋅3n+n+12c_{ 3 ^ { n } } =\frac { 1 } { 2 }⋅3 ^ { n } +n+\frac { 1 } { 2 } ；（ii） 32n+1+{(4n−6)3n+34\frac { 3 ^ { 2n+1 } +\left\{ ( { 4n-6 } \right )3 ^ { n } +3 } { 4 } . 【分析】
（1）通过基本量计算即可求得通项公式；
（2）（i）分析 {an}\left \{ a_{ n } \right \} 和 {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 项的特征，结合集合 EnE_{ n } 的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.
（1）设等差数列 {an}\left \{ a_{ n } \right \} 的公差为 dd ，等比数列 {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 的公比为 qq ， 因为 a1=2,b1=1,a2=b1+b2,a4=b3−b1a_{ 1 } =2,b_{ 1 } =1,a_{ 2 } =b_{ 1 } +b_{ 2 } ,a_{ 4 } =b_{ 3 } -b_{ 1 } ， 所以 {}\left \{ \right\} ，即 {\left \{ \right. ，解得 {\left \{ \right. 或 {\left \{ \right. （公比不能为0，舍去）， 所以 an=2n,bn=3n−1a_{ n } =2n,b_{ n } =3 ^ { n-1 }
（2）（i）由（1）知 ana_{ n } 为偶数， bnb_{ n } 为奇数，所以数列 {an}\left \{ a_{ n } \right \} 和 {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 没有相同项， 根据题意，集合 EnE_{ n } 中的元素由数列 {an}\left \{ a_{ n } \right \} 和 {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 中小于等于 nn 项组成， 小于 3n3 ^ { n } 的正偶数有 3n−12\frac { 3 ^ { n } -1 } { 2 } 个，由 3k−1≤3n3 ^ { k-1 } ≤3 ^ { n } 得 k≤n+1k≤n+1 ， k∈N∗k∈N ^ { * } ， 所以数列 {an}\left \{ a_{ n } \right \} 中小于等于 3n3 ^ { n } 的项有 3n−12\frac { 3 ^ { n } -1 } { 2 } 个， {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 中小于等于 3n3 ^ { n } 的项有 n+1n+1 个， 所以 c3n=3n−12+n+1=12⋅3n+n+12c_{ 3 ^ { n } } =\frac { 3 ^ { n } -1 } { 2 }+n+1=\frac { 1 } { 2 }⋅3 ^ { n } +n+\frac { 1 } { 2 } . （ii）当 3i−1≤m<3i3 ^ { i-1 } ≤m < 3 ^ { i } 时， {bn}\left \{ b_{ n } \right \} 中小于等于 mm 的项有 ii 个， 又 mm 为偶数时， {an}\left \{ a_{ n } \right \} 中小于等于 mm 的项有 m2\frac { m } { 2 } 个， mm 为奇数时， {an}\left \{ a_{ n } \right \} 中小于等于 mm 的项有 m−12\frac { m-1 } { 2 } 个， 所以 cm={c_{ m } =\left \{ \right. ， 所以 amcm={a_{ m } c_{ m } =\left \{ \right. ， 从 a3i−1c3i−1a_{ 3 ^ { i-1 } } c_{ 3 ^ { i-1 } } 到 a3i−1c3i−1a_{ 3 ^ { i } -1 } c_{ 3 ^ { i } -1 } 共有 3i−1−(3i−1−1)=2⋅3i−13 ^ { i } -1-\left ( { 3 ^ { i-1 } -1 } \right )=2⋅3 ^ { i-1 } 项， 又 mm 为奇数时， am+1cm+1−amcm=2i(m+1)+(m+1)2−2im−m(m−1)=2i+1+3ma_{ m+1 } c_{ m+1 } -a_{ m } c_{ m } =2i\left ( { m+1 } \right )+\left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } -2im-m\left ( { m-1 } \right )=2i+1+3m 所以 =3i−1(2i+1)+3⋅3i−1(3i−1+3i−2)2=3i−1(2i−2)+6⋅9i−1=3 ^ { i-1 } \left ( { 2i+1 } \right )+3⋅\frac { 3 ^ { i-1 } \left ( { 3 ^ { i-1 } +3 ^ { i } -2 } \right ) } { 2 }=3 ^ { i-1 } \left ( { 2i-2 } \right )+6⋅9 ^ { i-1 } ， 所以 =(0⋅30+6⋅90)+(2⋅31+6⋅91)+(4⋅32+6⋅92)+⋅⋅⋅+[(2n−2)3n−1+6⋅9n−1]=\left ( { 0⋅3 ^ { 0 } +6⋅9 ^ { 0 } } \right )+\left ( { 2⋅3 ^ { 1 } +6⋅9 ^ { 1 } } \right )+\left ( { 4⋅3 ^ { 2 } +6⋅9 ^ { 2 } } \right )+⋅⋅⋅+\left[ \left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n-1 } +6⋅9 ^ { n-1 } \right] =[0⋅30+2⋅31+4⋅32+⋅⋅⋅+(2n−2)3n−1]+6(90+91+92+⋅⋅⋅+9n−1)=\left[ 0⋅3 ^ { 0 } +2⋅3 ^ { 1 } +4⋅3 ^ { 2 } +⋅⋅⋅+\left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n-1 } \right]+6\left ( { 9 ^ { 0 } +9 ^ { 1 } +9 ^ { 2 } +⋅⋅⋅+9 ^ { n-1 } } \right ) =[2⋅31+4⋅32+⋅⋅⋅+(2n−2)3n−1]+6⋅1−9n1−9=\left[ 2⋅3 ^ { 1 } +4⋅3 ^ { 2 } +⋅⋅⋅+\left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n-1 } \right]+6⋅\frac { 1-9 ^ { n } } { 1-9 } =[2⋅31+4⋅32+⋅⋅⋅+(2n−2)3n−1]+34(9n−1)=\left[ 2⋅3 ^ { 1 } +4⋅3 ^ { 2 } +⋅⋅⋅+\left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n-1 } \right]+\frac { 3 } { 4 }\left ( { 9 ^ { n } -1 } \right ) 令 Sn=2⋅31+4⋅32+⋅⋅⋅+(2n−2)3n−1S_{ n } =2⋅3 ^ { 1 } +4⋅3 ^ { 2 } +⋅⋅⋅+\left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n-1 }
①， 则 3Sn=2⋅32+4⋅33+⋅⋅⋅+(2n−2)3n3S_{ n } =2⋅3 ^ { 2 } +4⋅3 ^ { 3 } +⋅⋅⋅+\left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n }
②，
①-②得 −2Sn=2(31+32+⋅⋅⋅+3n−1)−(2n−2)3n-2S_{ n } =2\left ( { 3 ^ { 1 } +3 ^ { 2 } +⋅⋅⋅+3 ^ { n-1 } } \right )-\left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n } =2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n−2)3n=2⋅\frac { 3\left ( { 1-3 ^ { n-1 } } \right ) } { 1-3 }-\left ( { 2n-2 } \right )3 ^ { n } =−(2n−3)3n−3=-\left ( { 2n-3 } \right )3 ^ { n } -3 ， 所以 Sn=(2n−3)3n+32S_{ n } =\frac { \left ( { 2n-3 } \right )3 ^ { n } +3 } { 2 } ， 所以

一句话总结

等差数列就是离散版本的一次函数——每一步迈同样的距离，通项就是起点加步数乘步长。

— Y. · 2026-08-30
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